Berechnungen in Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="float:right;background:#fff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:16em">
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{{Vorlage:Trigonometrie}}
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<div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#FFD700; border-bottom:1px solid #aaaaaa;">
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[[Bild:Vista-Community Help.png|right|25px]] '''Lernpfad-Navigator'''
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*[[Potenzen und Potenzfunktionen]]
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*[[Exponential- & Logarithmusfunktion]]
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*[[Trigonometrie]]
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**[[Trigonometrische Funktionen]]
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**[[Berechnungen in Dreiecken]]
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**[[Skalarprodukt]]
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**[[Exkurs: Figuren und ihre Eigenschaften]]
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*[[Abbildungen im Koordinatensystem]]
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<div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#FFD700; border-top:1px solid #aaaaaa;">
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[[LERNPFAD]]
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</div></div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]
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[[Kategorie:Vorlage:Navigationsblöcke|Erste Hilfe]]</noinclude>
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==Trigonometrie==  
 
==Trigonometrie==  
 
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| width="1000" style="text-align:left"| '''Arbeitsauftrag'''
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Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an  
 
Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an  
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Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
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{{pdf|Peter Fischer_Dreiecke.pdf|Berechnungen in Dreiecken}}
 
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==Aufgaben==
 
==Aufgaben==
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Hier warten nun Aufgaben zu Exponentialfunktionen, diese sind auch sehr häufig in der Abschlussprüfugn zu finden!
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Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.
  
 
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 '''
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| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
 
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Ordne den Funktionsgleichungen ihre Graphen zu. Los geht's! 
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Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)). 
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Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichung <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>.
 
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| <math>\quad f(x) = 0,5^{x-3}+2</math>|| [[Bild:Peter Fischer_F1.png|120px]]  
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|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']]
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|<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="550" width="750" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Gleichschenklig-Rechtwinklig.ggb"/>
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| <math>\quad f(x) = 0,1^{x+5}-3</math> || [[Bild:Peter Fischer_F2.png|120px]]
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</popup>
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| <math>\quad f(x) = 3 \cdot 2^x-2</math> ||[[Bild:Peter Fischer_F3.png|120px]]
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| <math>\quad f(x) = 1,5^{x+4}-0,5</math> || [[Bild:Peter Fischer_F4.png|120px]]
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|Berechne den Winkel <math>\quad \angle ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>, <math>\quad x_{M2}=3</math>.
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Lösungshinweis">
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*D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln 
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*<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln 
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*Kosinussatz im Dreieck <math>AM_2D \quad</math> anwenden 
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*Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel <math>\quad \angle DM_2A</math> mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.
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</popup>
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|}
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<quiz display="simple">
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{
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| type="{}" }
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'''Lösung:''' <math>\quad \angle ADM_2</math>={ 71.57 _7}° (2 Nachkommastellen)
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</quiz>
 
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|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des
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Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
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Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte C<sub>n</sub> den Trägergraphen.
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{|
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp"> 
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Verfahren zur Trägergraphermittlung wird in der Präsentation erklärt!
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</popup>
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|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=(5x^2-24x+36)</math>FE
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp"> 
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*36FE in <math>A(x) \quad</math> einsetzen.
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*Allgemeine Lösungsformel benutzen!
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</popup>
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|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp"> 
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*Suche einfache, flächengleiche Figuren!
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*Verwende den Punkt M<sub>n</sub>!
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<quiz display="simple">
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{
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| type="{}" }
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'''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} (ganze Zahlen) und C<sub>4</sub>{ 8.4 _3}|{ 1.2 _3} (1 Nachkommastelle)
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</quiz>
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|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
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Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
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{|
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp"> 
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C<sub>5</sub> liegt auf dem Trägergraphen und der Geraden g!
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</popup>
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|}
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<quiz display="simple">
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{
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| type="{}" }
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'''Lösung:''' C<sub>5</sub>{ 1.2 _3}|{ 3.6 _3} (1 Nachkommastelle)
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</quiz>
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
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| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
 
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Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).   
 
Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).   
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Das Quadrat ABCD mit <math>\overline{AB}=6cm</math> ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß <math>\gamma = 50^\circ</math>.
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Der Punkt liegt auf der Kante <math>\quad[AS]</math> mit <math>\overline{AQ}=6cm</math>. Die Punkte <math>\quad R_n</math> liegenauf der Kante <math>\quad [CS]</math>, wobei die Winkel <math>\quad R_nQS</math> das Maß <math> \quad \epsilon</math> mit <math>\quad \epsilon > 0^\circ</math> haben.
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|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']]
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|<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="570" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Pyramidegut.ggb"/>
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|Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon \quad</math>.
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp 1">
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Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt.
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|<popup name="Tipp 2"> 
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* Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)
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* Skizziere diese Teildreicke auf ein Konzeptpapier und trage bekannte Seiten und Winkel ein, um den Überblick zu behalten!</popup>
 
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<quiz display="simple">
 
<quiz display="simple">
 
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| type="{}" }
 
| type="{}" }
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Das Quadrat ABCD mit <math>\overline{AB}=6cm</math> ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß <math>\gamma = 50^\circ</math>.
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'''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 125.26 _7}° (2 Nachkommastellen)  
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Der Punkt liegt auf der Kante <math>[AS]</math> mit <math>\overline{AQ}=6cm</math>. Die Punkte <math>R_n</math> liegenauf der Kante <math>[CS]</math>, wobei die Winkel <math>R_nQS</math> das Maß <math>\epsilon</math> mit <math>\epsilon 0^\circ</math>> haben.
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<popup name="Applet"><ggb_applet height="600" width="1000" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Pyramide.ggb" />
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*Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>.
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<popup name="Tipp 1"> Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>R_n</math> auf C liegt.
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<popup name="Tipp 2">  Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup>
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Lösung: <math>\epsilon</math>={ 125,26 _7}° (2 Nachkommastellen)  
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*Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge <math>\overline{QR_n}</math> in Abhängigkeit von <math>\epsilon</math> gilt:
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|Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge <math>\quad \overline{QR_n}</math> in Abhängigkeit von <math>\quad \epsilon</math> gilt:
 
<math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>.
 
<math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>.
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[Teilergebnis: <math>\overline{AS}=10,11cm</math>]
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[Teilergebnis: <math>\quad \overline{AS}=10,11cm</math>]
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<popup name="Tipp"> Sinussatz im Dreieck <math>QR_nS</math>
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Sinussatz im Dreieck <math>\quad QR_nS</math>
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*Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\epsilon</math> so, dass die Strecke <math>[QR_1]</math> und <math>[QS] </math> gleich land sind.
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Lösung: <math>\epsilon</math>={ 100,03 _7}° (2 Nachkommastellen)
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|Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich lang sind.
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| type="{}" }
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'''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 100.03 _7}° (2 Nachkommastellen)
 
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'''Weiter gehts zu  [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''
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'''Weiter gehts zu  [[Trigonometrische Funktionen]]'''
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<div  style="background:#FFD700;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Trigonometrie</div>
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
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[[LERNPFAD]] &#124; [[Trigonometrie]] &#124; [[Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[Skalarprodukt]] &#124; [[Exkurs: Figuren und ihre Eigenschaften]] </div><noinclude>
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[[../../|LERNPFAD]] &#124; [[../../Trigonometrie|Trigonometrie]] &#124; [[../Trigonometrische Funktionen|Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[../Berechnungen in Dreiecken|Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] &#124; [[../Exkurs Geometrie|Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div>

Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 12:51 Uhr

Vista-Community Help.png
Lernpfad-Navigator

LERNPFAD

Trigonometrie

Arbeitsauftrag

Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an

  • rechtwinkligen Dreiecken
  • und allgemeinen Dreiecken.

Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen!

{{#slideshare:dreiecke-100817025839-phpapp02}}

Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
Pdf20.gif Berechnungen in Dreiecken
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Aufgaben

Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.

Aufgabe 1 Peter Fischer Papier.png

Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)).

Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke AB_nC_n \quad bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt \quad A(0|0). Auf der Geraden g mit der Gleichung \quad y=-2x+6 liegen die Mittelpunkte \quad M_n(x|-2x+6) der Hyptenusen \quad[AB_n].

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung
Berechne den Winkel \quad \angle ADM_2, wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten \quad C_2(3|3), \quad x_{M2}=3.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \quad \angle ADM_2=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als \quad C_n(3x-6|-x+6). Ermittle die Gleichung des

Trägergraphen h der Punkte Cn. Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte Cn den Trägergraphen.

Mori hat einen Tipp für dich

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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke \quad AB_nC in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: \quad A(x)=(5x^2-24x+36)FE
Mori hat einen Tipp für dich

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Die Dreiecke \quad AB_3C_3 und \quad AB_4C_4 haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: C3| (ganze Zahlen) und C4| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0


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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt.

Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: C5| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0


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Aufgabe 2 Peter Fischer Papier.png

Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).

Das Quadrat ABCD mit \overline{AB}=6cm ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß \gamma = 50^\circ. Der Punkt liegt auf der Kante \quad[AS] mit \overline{AQ}=6cm. Die Punkte \quad R_n liegenauf der Kante \quad [CS], wobei die Winkel \quad R_nQS das Maß \quad \epsilon mit \quad \epsilon > 0^\circ haben.

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung


Berechnen sie das größmögliche Maß \epsilon \quad.
Mori hat einen Tipp für dich
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge \quad \overline{QR_n} in Abhängigkeit von \quad \epsilon gilt:

\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm. [Teilergebnis: \quad \overline{AS}=10,11cm]

Mori hat einen Tipp für dich

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Berechnen Sie das Winkelmaß \quad \epsilon so, dass die Strecke \quad [QR_1] und \quad [QS] gleich lang sind.

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0


Weiter gehts zu Skalarprodukt Leerzeile


Trigonometrie
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