Abbildungen im Koordinatensystem: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="float:right;background:#fff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:16em">
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{{Vorlage:Abbildungen im Koordinatensystem1}}
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<div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#D15FEE; border-bottom:1px solid #aaaaaa;">
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[[Bild:Vista-Community Help.png|right|25px]] '''Lernpfad-Navigator'''
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<div style="background:#fff;padding: .5em; padding-bottom: 1em; font-size: 90%;">
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*[[Potenzen und Potenzfunktionen]]
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==Abbildungen im Koordinatensystem - Parallelverschiebung==  
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*[[Exponential- & Logarithmusfunktion]]
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*[[Trigonometrie]]
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*[[Abbildungen im Koordinatensystem]]
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**[[Abbildung durch Drehung]]
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**[[Abbildung durch Achsenspiegelung]]
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**[[Weitere Abbildungen]]
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**[[Verknüpfung von Abbildungen]]
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</div>
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<div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#D15FEE; border-top:1px solid #aaaaaa;">
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[[LERNPFAD]]
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</div></div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]
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[[Kategorie:Vorlage:Navigationsblöcke|Erste Hilfe]]</noinclude>
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==Abbildungen im Koordinatensystem==  
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| width="1000" style="text-align:left"| '''Arbeitsauftrag'''
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| width="900" style="text-align:left"| '''Arbeitsauftrag'''
 
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Als erstes schauen wir uns an, welche Bedeutung Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis haben. Anschließend wird der Umgang mit diesen Werkzeugen zur Winkelberechnung erklärt. Klick dich durch!
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Hier geht es nicht um die Eigenschaften der Abbildungen, die solltest du schon eine Weile kennen und kannst sie auch in der Formelsammlung nachschlagen.
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Stattdessen solltest du Bildpunkte mit Hilfe von Abbildungsmatrizen berechnen können. Die Rechnung mit Matrizen wird nochmal erklärt, anschließend wird die Parallelverschiebung als erste Abbildung verdeutlicht.
 
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{{#slideshare:sinuskosinustangens-100603045012-phpapp02}}
 
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<ggb_applet height="600" width="1000" showMenuBar="true" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Einheitskreis.ggb" />
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{{#slideshare:parallelverschiebung-100609155245-phpapp01}}
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Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
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{{pdf|Peter Fischer_Parallelverschiebung.pdf|Parallelverschiebung}}
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Hier ist ein MindMap, dass die wichtigsten Inhalte des Kapitels Abbildungen im Koordinatensystem zusammenfasst. Du kannst es dir auch ausdrucken!
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{{pdf|Peter Fischer_Abbildungen.pdf|MindMap Abbildungen}}
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Das folgende GeoGebra-Applet zeigt dir zur Wiederholung eine Parallelverschiebung, deren Verschiebungsvektor du verändern kannst.
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<ggb_applet height="550" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Parallelverschiebung.ggb" />
  
 
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==Aufgaben==
 
==Aufgaben==
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Es geht nun darum Sinus, Cosiunus un  Tangens als Rechenwerkzeuge kennen zu lernen!
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Bei der Parallelverschiebung, ebenso wie bei der orthogonalen Affinität spielt die Abbildungsmatrix eine geringere Rolle, stattdessen werden ganze Funktionen abgebildet, wie bereits in Potenzfunktionsabbildungen beschrieben.
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Im folgenden wartet eine ehemalige Prüfungsaufgabe auf dich.
  
 
{| border="1"
 
{| border="1"
 
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#FFBBFF;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Taschenrechner.png|40px]]'''
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| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFBBFF;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
 
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Ordne den Gleichungen die richtigen Winkel zu. Bedenke, dass es stets zwei Winkel gibt.
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Abbilden einer Exponentialfunktion. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil ; A1 (verändert)). 
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Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung <math>\quad y=1,5^{x+3}+1.</math>
 
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<div class="zuordnungs-quiz">
 
  
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{| <math>\sin \alpha=\frac{1}{2}</math> || <math>\quad \alpha=30^\circ</math> ||  <math>\quad \alpha=150^\circ</math>  
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{|
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|-
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|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']]
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| <math>\sin \alpha=0,707 \quad</math> || <math>\quad \alpha=315^\circ</math> ||  <math>\quad \alpha=225^\circ</math>  
+
|<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="550" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Exponentialaufgabe.ggb"/>
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|-
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</popup>
−
| <math>\cos \alpha=\frac{1}{2}</math> || <math>\quad \alpha=60^\circ</math>  || <math>\quad \alpha=300^\circ</math>  
+
|}
−
|-
+
 
−
| <math>\cos \alpha=-0,866 \quad</math> ||  <math>\quad \alpha=210^\circ</math> ||  <math>\quad \alpha=150^\circ</math>  
+
{| border="1"
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|-
+
|Der Graph der Funktion f wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab <math>\quad k=-2</math> und anschließender Parallelverschiebung mit <math>\vec{v}={2 \choose 10}</math> auf den Graphen zu f' abgebildet.
−
| <math>\tan \alpha=-0,577 \quad</math> ||  <math>\quad \alpha=210^\circ</math> ||  <math>\quad \alpha=330^\circ</math>  
+
{|
−
|-
+
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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| <math>\tan \alpha=1 \quad</math>||  <math>\quad \alpha=45^\circ</math> ||  <math>\quad \alpha=135^\circ</math>  
+
|<popup name="Tipp">  
 +
*Wird eine Funktion durch Orthogonale Affinität abgebildet, so wird der Funktoinsterm mit k multipliziert
 +
*Wird eine Funktion parallelverschoben mit dem Vektor <math>\vec{v}={v_x \choose v_y}</math>, so gilt: <math>\quad x'=x-v_x </math> und <math>\quad v_y </math> wird zu dem Funktionsterm addiert. (siehe auch Potenzfunktionsabbildungen)
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</popup>
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|}
 +
 
 +
 
 +
<quiz display="simple">
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{ Wähle aus welche Gleichung f ' beschreibt:}
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- <math>\quad y=2 \cdot 1,5^{x+1}+8</math>
 +
- <math>\quad y=-2 \cdot 1,5^{x-1}-8</math>
 +
+ <math>\quad y=-2 \cdot 1,5^{x+1}+8</math>
 +
</quiz>
 
|}
 
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</div>
 
  
 
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{| border="1"
 
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#FFBBFF;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
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| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFBBFF;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
 
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Hier warten zwei trigonometrische Gleichungen, die mit Hilfe der Zusammenhänge gelöst werden können.
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Abbilden einer Logarithmusfunktion. (Abschlussprüfung 2008; Wahlteil ; A1).
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Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung <math>\quad y=\log_3{(x+1)}-2</math>.
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|}
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{|
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|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']]
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|<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="550" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Logarithmusaufgabe.ggb"/>
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</popup>
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|}
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{| border="1"
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|Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion f, sowie die Gleichung der Asymptote h an. 
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{|
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 +
|<popup name="Tipp">
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[[Bild:Peter_Fischer_Formelsammlung.png|40px]] In der Formelsammlung stehen Eigenschaften zu Funktionen und deren Definitionsmengen und Asympoten.
 +
</popup>
 
|}
 
|}
 
<quiz display="simple">
 
<quiz display="simple">
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{  
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{
 
| type="{}" }
 
| type="{}" }
−
<math>\quad {\sin}^2 \alpha +2 cos \alpha =0,5</math>
+
Lösung: <math>\quad \mathbb{D}=\{x|x></math>{ -1 _5}<math>\quad \}</math>
−
<popup name="Tipp"><math>\quad {\sin}^2 \alpha </math> durch <math>\quad 1-{\cos}^2 \alpha</math> ersetzen, Umformen und in die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen einsetzen
+
Asymptote h: { x=-1 _5}
−
Lösung: <math>\quad \alpha_1</math>={ 73,14 _7}; <math>\quad \alpha_2</math>={ 286,86 _7} (2 Nachkommastellen)
+
−
<math>\quad \sin \alpha=\sqrt{3} \cdot \cos \alpha</math>
+
−
<popup name="Tipp"> <math>\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha</math>
+
−
Lösung: <math>\quad \alpha_1</math>={ 60,00 _7}; <math>\quad \alpha_2</math>={ 240,00 _7}
+
 
</quiz>
 
</quiz>
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|}
  
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{| border="1"
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|Der Graph der Funktion f wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor <math>\vec{v}={a \choose 4}</math> mit <math>\quad a \in \mathbb{R}</math> auf den Graphen f' abgebildet. Der Punkt <math>\quad P'(0|4)</math> liegt auf dem Graphen zu f'.
 +
Brechnen Sie den Wert von a.
 +
Ermitteln Sie sodann die Gleichung der Funktion f' durch Rechnung.
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{|
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp">
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[[Bild:Peter_Fischer_Formelsammlung.png|40px]]
 +
Entweder verschiebst du f mit dem Vektor <math>\vec{v}={a \choose 4}</math> und setzt P' in die erhaltene Gleichung ein oder du bildest die Punkte <math>\quad P_n(x|\log_3{(x+1)}-2</math> mit der Abbildungsgleichung ab und setzt <math>\quad x=0</math> ein.
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</popup>
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|}
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<quiz display="simple">
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{
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| type="{}" }
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Lösung: a= { -2 _5}
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Bildfunktion f': { 2 _3}<math>\cdot \log_3</math> ({ x+3 _7}) { +2 _3}
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</quiz>
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|}
  
  
 
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'''Weiter gehts zu  [[Trigonometrische Funktionen]]'''
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'''Weiter gehts zu  [[/Abbildung durch Drehung|Abbildung durch Drehung]]'''
 
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<div  style="background:#D15FEE;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Abbildungen im Koordinatensystem</div>
 
<div  style="background:#D15FEE;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Abbildungen im Koordinatensystem</div>
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#D15FEE; background-color:#f6fcfe;">
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#D15FEE; background-color:#f6fcfe;">
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[[LERNPFAD]] &#124; [[Abbildungen im Koordinatensystem]] &#124; [[Abbildung durch Drehung]] &#124;  [[Abbildung durch Achsenspiegelung]] &#124; [[Weitere Abbildungen]] &#124; [[Verknüpfung von Abbildungen]] </div><noinclude>
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[[../|LERNPFAD]] &#124; [[../Abbildungen im Koordinatensystem|Abbildungen im Koordinatensystem]] &#124; [[/Abbildung durch Drehung|Abbildung durch Drehung]] &#124;  [[/Abbildung durch Achsenspiegelung|Abbildung durch Achsenspiegelung]] &#124; [[/Weitere Abbildungen|Weitere Abbildungen]] </div>
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[[zum-wiki:Mathematik-digital/Figuren im Koordinatensystem]]

Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 12:04 Uhr

Vista-Community Help.png
Lernpfad-Navigator

LERNPFAD

Abbildungen im Koordinatensystem - Parallelverschiebung

Arbeitsauftrag

Hier geht es nicht um die Eigenschaften der Abbildungen, die solltest du schon eine Weile kennen und kannst sie auch in der Formelsammlung nachschlagen. Stattdessen solltest du Bildpunkte mit Hilfe von Abbildungsmatrizen berechnen können. Die Rechnung mit Matrizen wird nochmal erklärt, anschließend wird die Parallelverschiebung als erste Abbildung verdeutlicht.

{{#slideshare:parallelverschiebung-100609155245-phpapp01}}

Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
Pdf20.gif Parallelverschiebung

Hier ist ein MindMap, dass die wichtigsten Inhalte des Kapitels Abbildungen im Koordinatensystem zusammenfasst. Du kannst es dir auch ausdrucken!
Pdf20.gif MindMap Abbildungen


Das folgende GeoGebra-Applet zeigt dir zur Wiederholung eine Parallelverschiebung, deren Verschiebungsvektor du verändern kannst.



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Aufgaben

Bei der Parallelverschiebung, ebenso wie bei der orthogonalen Affinität spielt die Abbildungsmatrix eine geringere Rolle, stattdessen werden ganze Funktionen abgebildet, wie bereits in Potenzfunktionsabbildungen beschrieben. Im folgenden wartet eine ehemalige Prüfungsaufgabe auf dich.

Aufgabe 1 Peter Fischer Papier.png

Abbilden einer Exponentialfunktion. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil ; A1 (verändert)).

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \quad y=1,5^{x+3}+1.

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung
Der Graph der Funktion f wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab \quad k=-2 und anschließender Parallelverschiebung mit \vec{v}={2 \choose 10} auf den Graphen zu f' abgebildet.
Mori hat einen Tipp für dich


1. Wähle aus welche Gleichung f ' beschreibt:

\quad y=2 \cdot 1,5^{x+1}+8
\quad y=-2 \cdot 1,5^{x-1}-8
\quad y=-2 \cdot 1,5^{x+1}+8

Punkte: 0 / 0

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Aufgabe 2 Peter Fischer Papier.png

Abbilden einer Logarithmusfunktion. (Abschlussprüfung 2008; Wahlteil ; A1).

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \quad y=\log_3{(x+1)}-2.

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung
Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion f, sowie die Gleichung der Asymptote h an.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \quad \mathbb{D}=\{x|x>\quad \}
Asymptote h:

Punkte: 0 / 0
Der Graph der Funktion f wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor \vec{v}={a \choose 4} mit \quad a \in \mathbb{R} auf den Graphen f' abgebildet. Der Punkt \quad P'(0|4) liegt auf dem Graphen zu f'.

Brechnen Sie den Wert von a. Ermitteln Sie sodann die Gleichung der Funktion f' durch Rechnung.

Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: a=
Bildfunktion f': \cdot \log_3 ()

Punkte: 0 / 0


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Weiter gehts zu Abbildung durch Drehung
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Abbildungen im Koordinatensystem
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