Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7: Unterschied zwischen den Versionen

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==Station 7==
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'''Inhaltsverzeichnis:''' &nbsp;&nbsp;  [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  &nbsp;-  &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]] &nbsp;- &nbsp;<br>
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]]&nbsp;- &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]   
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=7. Übungen zum Additionsverfahren=
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=Aufgabe 1=
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'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.'''
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Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.
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'''( I ) &nbsp;3x + 7y = - 30 &nbsp;&nbsp;&nbsp;und &nbsp;&nbsp;&nbsp;( II )&nbsp; - 5x - 7y = 22'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  [[Bild:Motivation_Hatos_19.PNG|250px]]
  
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( I ) 3x + 7y = - 30 und ( II ) - 5x - 7y = 22
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<div style="color:#CD661D  ">1. Schritt: Dieses lineare Gleichungssystem kannst du sofort mit dem Additionsverfahren lösen.</div>
  
 
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Addiere nun die ( I ) und ( II )
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<div style="color:#CD661D  ">2. Schritt: Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )</div>
  
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( I ) + ( II ) :   ( '''3x + 7y''' ) + (''' -5x - 7y''' ) = '''-30''' + '''22'''
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( I ) + ( II ) :  
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( '''3x + 7y''' ) + (''' -5x - 7y''' ) = '''-30''' + '''22'''
  
 
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Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.
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<div style="color:#CD661D  ">Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.</div>
  
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| '''3x - 5x''' || = || '''-8'''
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Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.
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<div style="color:#CD661D  ">3. Schritt: Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.</div>
  
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| 3 * '''4''' + 7y || = || - 30
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| '''12''' + 7y ||  = || - 30 || / - 12
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<div style="color:#CD661D  ">4. Schritt: Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>
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Gleichung ( I ) :
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| 3 * '''4 (x - Wert)''' + 7 * '''- 6 (y - Wert)'''  || = || - 30
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| '''12 (ausmultipliziert) - 42  ||  = || - 30
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| - 30 || = || - 30
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Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
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Gleichung ( II ):
  
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Gleichung ( I ) : 3x + 7y = -30
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| 22 || = || 22
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Gleichungs ( II ): -5x - 7y = 22
 
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                    -20 + '''42 (ausmultipliziert)''' = 22
 
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                            22 = 22
 
  
 
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Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( '''4 (x - Wert)'''| '''-6 (y - Wert)''' ) }  
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Somit lautet die Lösung des linearen Gleichungssystems L = { ( '''4 (x - Wert)'''| -6 ) }  
  
 
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'''<big>Lies dir den folgenden Kasten sorgfältig durch!</big>'''
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<div style="border: 2px solid #FFA54F ; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.
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Beispiel: '''( I )&nbsp; 2x + 3y = 134 &nbsp;und&nbsp; ( II )&nbsp; 3x + 5y = 221'''
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Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2
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                ( I ) &nbsp;2x + 3y = 134 | * 3
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                ( II ) &nbsp;3x + 5y = 221 | * (-2)
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            dies ergibt ( I )&nbsp; 6x + 9y = 402
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                      ( II )&nbsp;-6x - 10y = -442
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Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!<br>
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Du siehst also, dass entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen muss!!
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=Aufgabe 2=
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<big>'''Zuordnung'''</big><br>
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Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
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| ( I ) 16x + 12y = 68  &nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;  ( II ) 2x + 6y = 6 || ( II ) * (-2) || ( I ) 16x + 12y = 68  &nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;  ( II ) -4x - 12y = -12
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| ( I ) 11x - 5y = -3  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp; ( II ) -9x + 4y = 2 || ( I ) * 4 und ( II ) * 5 || ( I ) 44x - 20y = -12  &nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;  ( II ) -45 x + 20y = 10 
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|-
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| ( I ) -5x + 6y = 41  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp;  ( II ) 3x - 8y = -73 || ( I ) * 4 und ( II ) * 3 || ( I ) -20x + 24y = 164  &nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;  ( II ) 9x - 24y = -219
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'''Lies dir den Merkekasten genau durch.'''
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|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Additionsverfahren!</div>'''
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'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
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'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt.
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'''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen.
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'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
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'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
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||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
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(I) y + 3x = 2 <br>
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und<br>
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(II) 2y = 4x – 2
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(I) * (-2) : - 2y  - 6x = -4<br>
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(III)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2y = 4x – 2
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(I) + (II):<br>
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-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br>
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::- 6x  = 4x - 6 | - 4x<br>
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::- 10x = - 6 | : (-10)<br>
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:::    x = 0,6
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x in (II): <br>
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::  2y = 4 * 0,6 – 2<br>
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::            2y = 2,4 – 2<br>
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::            2y = 0,4 | : 2<br>
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::              y = 0,2
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(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
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(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)
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L = {( 0,6 |  0,2 )}
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Aufgabe 2 :
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'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|Auf zur letzten Aufgabe!]]</big>'''
  
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6]]
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts zurück]]

Aktuelle Version vom 18. März 2010, 15:03 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

7. Übungen zum Additionsverfahren

Aufgabe 1

Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.


( I )  3x + 7y = - 30    und    ( II )  - 5x - 7y = 22                  Motivation Hatos 19.PNG

1. Schritt: Dieses lineare Gleichungssystem kannst du sofort mit dem Additionsverfahren lösen.
2. Schritt: Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )

( I ) + ( II ) :

( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22


Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.
( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22
     
3x - 5x = -8
     
-2x = -8 / : ( -2 )
     
x = 4


3. Schritt: Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.


3x + 7y = - 30
     
3 * 4 + 7y = - 30
     
12 + 7y = - 30 / - 12
     
7y = - 42 / : 7
     
y = -6


4. Schritt: Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.


Gleichung ( I ) :

3x + 7y = - 30
     
3 * 4 (x - Wert) + 7 * - 6 (y - Wert) = - 30
     
12 (ausmultipliziert) - 42 = - 30
     
- 30 = - 30


Gleichung ( II ):

-5x - 7y = 22
     
-5 * 4 (x - Wert) - 7 * - 6 (y - Wert) = 22
     
-20 + 42 (ausmultipliziert) = 22
     
22 = 22


Somit lautet die Lösung des linearen Gleichungssystems L = { ( 4 (x - Wert)| -6 ) }

 


Motivation Hatos 20.PNG



Lies dir den folgenden Kasten sorgfältig durch!


Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.

Beispiel: ( I )  2x + 3y = 134  und  ( II )  3x + 5y = 221

Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2 

                ( I )  2x + 3y = 134 | * 3
               ( II )  3x + 5y = 221 | * (-2)

           dies ergibt ( I )  6x + 9y = 402
                      ( II ) -6x - 10y = -442

Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
Du siehst also, dass entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen muss!!


Aufgabe 2

Zuordnung
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!

( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) 2x + 6y = 6 ( II ) * (-2) ( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) -4x - 12y = -12
( I ) 11x - 5y = -3    und    ( II ) -9x + 4y = 2 ( I ) * 4 und ( II ) * 5 ( I ) 44x - 20y = -12    und    ( II ) -45 x + 20y = 10
( I ) -5x + 6y = 41    und    ( II ) 3x - 8y = -73 ( I ) * 4 und ( II ) * 3 ( I ) -20x + 24y = 164    und    ( II ) 9x - 24y = -219

 


Lies dir den Merkekasten genau durch.


Hatos Merke.PNG
Das Additionsverfahren!


Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.


1. Schritt: Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt.




2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen.





3. Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.




4. Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.



Beispiel:                                    

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2



(I) * (-2) : - 2y - 6x = -4

(III)    2y = 4x – 2


(I) + (II):

-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x

- 6x = 4x - 6 | - 4x
- 10x = - 6 | : (-10)
x = 0,6


x in (II):

2y = 4 * 0,6 – 2
2y = 2,4 – 2
2y = 0,4 | : 2
y = 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = {( 0,6 | 0,2 )}


→ Auf zur letzten Aufgabe!

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