Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5: Unterschied zwischen den Versionen

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==Station 5==
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'''Inhaltsverzeichnis:''' &nbsp;&nbsp;  [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  &nbsp;-  &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]] &nbsp;- &nbsp;<br>
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]]&nbsp;- &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]   
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=5. Übungen zum Einsetzungsverfahren=
  
 
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=Aufgabe 1=
 
=Aufgabe 1=
  
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Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!  
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'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!'''
  
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( I ) x - 3y = 6  und ( II ) y + 7 = 2x
 
  
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<div class="lueckentext-quiz">
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'''( I ) &nbsp;x - 3y = 6 &nbsp;&nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;&nbsp;( II )&nbsp; y + 7 = 2x''' &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  [[Bild:Motivation_Hatos_16.PNG|250px]]
  
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Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!
 
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Wir nehmen hier die Gleichung ( II )
 
  
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  ( II ) y + 7 = 2x
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'''<div style="color:#CD661D ">1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf! &nbsp; Wir nehmen hier die Gleichung ( II )</div>'''
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( II )&nbsp;&nbsp;  y + 7 = 2x
 
          
 
          
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        y = '''2x''' '''-''' '''7'''
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::        y = '''2x''' '''-''' '''7'''
  
 
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Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir 2x + 7 für y in die Gleichung ( I ) einsetzen.
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'''<div style="color:#CD661D  ">2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).</div>'''
  
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x - 3 * ( '''2x - 7''' ) = 6
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x - 6x + '''21 (Zahl eingeben)''' = 6
 
  
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'''-5x''' + 21 = 6
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-5x = '''- 15'''
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| x - 3 * ( '''2x - 7''' )|| = || 6
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| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
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| x - 6x + '''21 (Zahl eingeben)'''  || = || 6
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| '''-5x''' + 21 ||  = || 6 ||/ - 21
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| -5x || = || '''- 15''' ||/ : (- 5)
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| x || = || '''3 (Zahl eingeben)'''
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x = '''3 (Zahl eingeben)'''
 
  
 
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Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
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'''<div style="color:#CD661D  ">3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.&nbsp;  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''
  
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Nimm hier Gleichung ( I )
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x - 3y = 6
 
  
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'''3''' - 3y = 6
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| x - 3y  || = || 6
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| '''3''' - 3y || = || 6 ||/ - 3
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| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
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| -3y ||  = || '''3''' ||/ : ( - 3 )
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| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
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| y || = || '''- 1'''
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|}
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- 3y = '''3'''
 
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y = '''- 1'''
 
  
 
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Um sicherzugehen, dass du dies auch eine Lösung deines Linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
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'''<div style="color:#CD661D  ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''
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'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems an.'''
  
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
  
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Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösung deines Linearen Gleichungssystems an
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L = { ( '''3 ( x - Wert )''' / -1 }
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L = { ( '''3 ( x - Koordinate )''' / '''-1 ( y - Koordinate )''' }
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[[Bild:Motivation_Hatos_17.PNG|center]]
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=Aufgabe 2=
 
=Aufgabe 2=
  
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Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen Linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.
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'''Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''
  
 
<div class="zuordnungs-quiz">
 
<div class="zuordnungs-quiz">
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<big>'''Zuordnung'''</big><br>
 
 
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{|
 
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
 
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
 
|-
 
|-
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| ( I ) 19x + 4y = 18 und ( II ) y = -3x + 11 || 19x + 4 * (-3x + 11) = 18
+
| ( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 || 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
 
|-
 
|-
 
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
 
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
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</div>
 
</div>
 
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&nbsp;
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'''Lies dir den Merkekasten genau durch!'''
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{|
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|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
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'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
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<br>
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'''1. Schritt:''' Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
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<br>
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<br>
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'''2. Schritt:''' Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.
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<br>
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<br>
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<br>
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<br>
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<br>
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'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
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<br>
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<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
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<br>
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<br>
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<br>
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<br>
 +
<br>
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||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:
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(I) y + 3x = 2 <br>
 +
und <br>
 +
(II) 2y = 4x – 2
 +
 +
 +
 +
(I) y = -3x + 2<br>
 +
(II) 2y = 4x – 2
 +
 +
 +
 +
(I) in (II)
 +
 +
2 * ( - 3x + 2)  = 4x – 2<br>
 +
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x<br>
 +
- 10x  + 4 = - 2 | - 4<br>
 +
:  - 10x = - 6 | : (-10)<br>
 +
::        x = 0,6
 +
 +
 +
x in ( I )  y = - 3 * 0,6 + 2<br>
 +
::            y = - 1,8 + 2<br>
 +
::            y=  0,2
 +
 +
 +
 +
(I)  0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
 +
 +
(II)  2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)
 +
 +
 +
 +
 +
L = { ( 0,6 |  0,2 )}
 +
</span>
 +
|}
 
</div>
 
</div>
 
   
 
   
 
   
 
   
−
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts zu Station 6]]
+
'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts weiter!]]</big>'''
  
−
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück zur Station 4]]
+
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück]]

Aktuelle Version vom 18. März 2010, 15:12 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

5. Übungen zum Einsetzungsverfahren

Aufgabe 1

Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!


( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x                   Motivation Hatos 16.PNG


1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )

( II )   y + 7 = 2x

y = 2x - 7


2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).


x - 3 * ( 2x - 7 ) = 6
     
x - 6x + 21 (Zahl eingeben) = 6
     
-5x + 21 = 6 / - 21
     
-5x = - 15 / : (- 5)
     
x = 3 (Zahl eingeben)



3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).


x - 3y = 6
     
3 - 3y = 6 / - 3
     
-3y = 3 / : ( - 3 )
     
y = - 1


4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems an.

L = { ( 3 ( x - Wert ) / -1 }

 


Motivation Hatos 17.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.

( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 5x + 3 * (2x + 10) = -3
( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 15 * (5y + 7) + 13y = 17

 


Lies dir den Merkekasten genau durch!


Hatos Merke.PNG
Das Einsetzungsverfahren!


Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1. Schritt: Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.



2. Schritt: Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.





3. Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.



4. Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.




Beispiel:

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2


(I) y = -3x + 2
(II) 2y = 4x – 2


(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x
- 10x + 4 = - 2 | - 4

- 10x = - 6 | : (-10)
x = 0,6


x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2

y = - 1,8 + 2
y= 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = { ( 0,6 | 0,2 )}


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