Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 18. März 2010, 15:12 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

5. Übungen zum Einsetzungsverfahren

Aufgabe 1

Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!


( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x                   Motivation Hatos 16.PNG


1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )

( II )   y + 7 = 2x

y = 2x - 7


2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).


x - 3 * ( 2x - 7 ) = 6
     
x - 6x + 21 (Zahl eingeben) = 6
     
-5x + 21 = 6 / - 21
     
-5x = - 15 / : (- 5)
     
x = 3 (Zahl eingeben)



3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).


x - 3y = 6
     
3 - 3y = 6 / - 3
     
-3y = 3 / : ( - 3 )
     
y = - 1


4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems an.

L = { ( 3 ( x - Wert ) / -1 }

 


Motivation Hatos 17.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.

( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 5x + 3 * (2x + 10) = -3
( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 15 * (5y + 7) + 13y = 17

 


Lies dir den Merkekasten genau durch!


Hatos Merke.PNG
Das Einsetzungsverfahren!


Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1. Schritt: Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.



2. Schritt: Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.





3. Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.



4. Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.




Beispiel:

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2


(I) y = -3x + 2
(II) 2y = 4x – 2


(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x
- 10x + 4 = - 2 | - 4

- 10x = - 6 | : (-10)
x = 0,6


x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2

y = - 1,8 + 2
y= 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = { ( 0,6 | 0,2 )}


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