Eigenschaften der zentrischen Streckung: Unterschied zwischen den Versionen

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===Eigenschaften der zentrischen Streckung===
 
===Eigenschaften der zentrischen Streckung===
 
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[[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|center]]
 
 
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:'''In diesem Lernpfad durchläufst du 7 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:'''<br>
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:1. Station: Fixelemente<br>
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:[[/2.Station|2. Station: Geradentreue und Parallelentreue]]<br>
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:[[/3.Station|3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue]]<br>
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:[[/4.Station|4. Station: Längenverhältnistreue]]<br>
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:[[/5.Station|5. Station: Kreistreue]]<br>
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:[[/6.Station|6. Station: Zusammenfassung]]<br>
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:[[/7.Station|7. Station: Übung]] <br>
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==1. Station: Fixelemente==
 
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<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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:Für k<math>\not=</math>1 gilt:
 
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:Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
 
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</div>
 
 
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:'''Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.'''
 
 
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[[Bild:Porzelt_Fixgerade.jpg]]
 
 
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:Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
 
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:{{Lösung versteckt|1=
 
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:f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.}}
 
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:Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
 
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:{{Versteckt|1=
 
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<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
:Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
 
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:Streckung auf sich selbst abgebildet.
 
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</div>
 
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==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue==
 
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<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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*'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
 
−
*'''Parallelentreue'''  liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
 
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</div>
 
 
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:Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
 
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:auf den Punkt P' abgebildet.
 
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:Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt. Was stellst du fest?
 
−
:Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.
 
−
<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />
 
 
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==3. Station: Längentreue, Winkeltreue und Flächeninhaltstreue==
 
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<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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*'''Längentreue''' bedeutet, wenn alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
 
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*Ebenso gilt für die '''Winkeltreue''', wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
 
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*'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
 
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</div>
 
 
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:In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
 
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:die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. Vergleiche die Werte und überlege, welche
 
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:Eigenschaft zutrifft.
 
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<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" />
 
 
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<ggb_applet height="260" width="550" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Parallelentreue.ggb" />
 
 
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==1. Station: Fixelemente==
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:Durch Umformung kannst du herausfinden, wie der Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks zu berechnen ist.
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<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
:Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
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[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]] <br>Für k<math>\not=</math>1 gilt:
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:Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.  
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</div>
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<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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{|
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|'''''Strecke die Gerade g, die Punkte A, B und C zentrisch um den Faktor k und ordne im nebenstehenden Text den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:'''''<br><ggb_applet height="300" width="600" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Fixgerade.ggb" />||
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&nbsp;
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
−
A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
+
Der Punkt A wird auf den Punkt '''A'''' abgebildet, so wie der Punkt B auf Punkt '''B'''' und Punkt C auf Punkt '''C''''. Alle Punkte verlaufen auf einer '''Geraden'''. Die Gerade g wird auf die Gerade '''g'''' abgebildet.<br> Geometrisch bedeutet dies: g '''=''' g'.
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br>
+
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' ∙ '''|k|''' ∙ '''h''' <br>
+
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
+
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>'''
+
 
</div>
 
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==4. Station: Längenverhältnistreue==
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Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:<br>
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{{Versteckt|1=
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
:'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
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[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]] <br>Alle Geraden, die durch den Punkt Z verlaufen, sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
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</div>
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:Streckung auf sich selbst abgebildet.
 
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==5. Station: Kreistreue==
 
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<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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:'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
 
 
</div>
 
</div>
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}}
 
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:Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
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<div align="left">[[/2.Station|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur 2. Station: Geradentreue und Parallelentreue]]</div>
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<ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" />
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+
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==6. Station: Zusammenfassung==
+
−
:Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
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<div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
'''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br>
+
−
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br>
+
−
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br>
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−
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br>
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−
Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br>
+
−
Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br>
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−
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br>
+
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Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu.
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==7. Station: Übung==
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Aktuelle Version vom 19. Dezember 2009, 15:57 Uhr


Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Eigenschaften der zentrischen Streckung


Porzelt Eigenschaften.jpg




In diesem Lernpfad durchläufst du 7 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:
1. Station: Fixelemente
2. Station: Geradentreue und Parallelentreue
3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue
4. Station: Längenverhältnistreue
5. Station: Kreistreue
6. Station: Zusammenfassung
7. Station: Übung












1. Station: Fixelemente

Porzelt Panto-2.jpg

Für k\not=1 gilt:
Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.


Strecke die Gerade g, die Punkte A, B und C zentrisch um den Faktor k und ordne im nebenstehenden Text den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:

 

Der Punkt A wird auf den Punkt A' abgebildet, so wie der Punkt B auf Punkt B' und Punkt C auf Punkt C'. Alle Punkte verlaufen auf einer Geraden. Die Gerade g wird auf die Gerade g' abgebildet.
Geometrisch bedeutet dies: g = g'.




Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:

Porzelt Panto-2.jpg

Alle Geraden, die durch den Punkt Z verlaufen, sind Fixgeraden. Sie werden bei einer zentrischen
Streckung auf sich selbst abgebildet.



\Rightarrow Weiter zur 2. Station: Geradentreue und Parallelentreue
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