Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

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*[[Potenzen und Potenzfunktionen]]
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**[[Exkurs Lineare Funktionen]]
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**[[Potenzfunktionsabbildungen]]
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*[[Exponential- & Logarithmusfunktion]]
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Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen:
 
Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen:
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==Aufgaben==
 
==Aufgaben==
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Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen.
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Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen. (Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)
 
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|Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit <math>x \frac{km}{s}</math>. Dabei verringert sich die Masse <math>y \quad t </math> (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form <math>y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+)</math> dargestellt werden, wobei <math>y_0 \quad</math> die Startmasse der Rakete ist und <math>k \frac{km}{s}</math>
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die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.
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Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von <math>9,5 \frac{km}{s}</math> erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.
 
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Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit <math>x \frac{km}{s}</math>. Dabei verringert sich die Masse <math>y t</math> (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form <math>y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+)</math> dargestellt werden, wobei <math>y_0</math> die Startmasse der Rakete ist und <math>k \frac{km}{s}</math>
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'''Lösung:''' k = { 5.54 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.
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Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von <math>9,5 \frac{km}{s}</math> erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.(Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)
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Lösung: k = { 5,54 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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<popup name="Tipp"> Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf! </popup>
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Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf!  
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Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x <math>\frac{km}{s}</math>.
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Lösung: x = { 3,40 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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<popup name="Lösung"> Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt <math>y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61 \iff</math> <math>\quad x=3,40</math></popup>  
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|Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x <math>\frac{km}{s}</math>.
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'''Lösung:''' x = { 3.38 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
 
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Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen.
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!Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt: <math>y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61 \iff</math> <math>\quad x=3,40</math>
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#C0FF3E;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
 
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Löse folgende Exponentialgleichungen  
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Löse folgende Exponentialgleichungen (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6) 
 
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|Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung <math>y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math> beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt. 
 
<quiz display="simple">
 
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| type="{}" }
 
| type="{}" }
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Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung <math>y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math> beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt.  (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6)
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'''Lösung:''' x={ 2.20 _5}s  
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Lösung: x={ 2,20 _5}s  
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<popup name="Tipp"> Um die Gleichung <math>7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math>lösen zu können brauchst du die Poetenzgesetze!
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Um die Gleichung <math>7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math>lösen zu können brauchst du die Potenzgesetze!
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Löse die Exponentialgleichung <math>7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}</math>.
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<popup name="Trick"> Wende auf beiden Seiten der Gleichung einen Logarithmus beliebiger, aber gleicher Basis an und verwenden die Logarithmengesetze: <math>\lg {(7 \cdot 4^{x-2})}=\lg {(25 \cdot 5^{2x+1})} </math></popup>  
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|Löse die Exponentialgleichung <math>7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}</math>.
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Lösung: L={ 0,10 _5} (2 Nachkommastellen)
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Trick"> Wende auf beiden Seiten der Gleichung einen Logarithmus beliebiger, aber gleicher Basis an und verwende die Logarithmengesetze: <math>\lg {(7 \cdot 4^{x-2})}=\lg {(25 \cdot 5^{2x+1})} </math>
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Lösung: <math>\mathbb{L}</math>={ 0.10 _5} (2 Nachkommastellen)
 
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'''Weiter gehts zu [[Trigonometrie]]'''
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'''Weiter gehts zu Abschnitt III [[../../Trigonometrie|Trigonometrie]]'''
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<div  style="background:#66CD00;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Exponential- & Logarithmusfunktion</div>
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#66CD00; background-color:#f6fcfe;">
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#66CD00; background-color:#f6fcfe;">
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[[LERNPFAD]] &#124; [[Exponential- & Logarithmusfunktion]] &#124; [[Logarithmus]]  </div><noinclude>
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[[../../|LERNPFAD]] &#124; [[../|Exponential- und Logarithmusfunktion]] &#124; [[../Logarithmus|Logarithmus]]  </div>

Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 12:25 Uhr

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Lernpfad-Navigator

LERNPFAD

Arbeitsauftrag

Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen:

  • Er ist ein Werkzeug um Gleichungen zu lösen, bei denen x im Exponenten steht
  • Wir können auch die Logarithmusfunktion betrachen, die die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.

Auf den folgenden Folien wirst du an beide Aspekte erinnert.

{{#slideshare:logarithmusfunktion-100817023437-phpapp01}}

Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
Pdf20.gif Logarithmus




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Aufgaben

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Exponentialgleichungen, x-Wertberechnungen von Exponentialfunktionen, da dies für deine Prüfung sehr relevant ist.

Aufgabe 1

Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen. (Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)

Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit x \frac{km}{s}. Dabei verringert sich die Masse y \quad t (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+) dargestellt werden, wobei y_0 \quad die Startmasse der Rakete ist und k \frac{km}{s}

die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.

Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von 9,5 \frac{km}{s} erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.

1.

Lösung: k = \frac{km}{s} (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0
Mori hat einen Tipp für dich

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Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x \frac{km}{s}.

1.

Lösung: x = \frac{km}{s} (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0
Mori hat einen Tipp für dich

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Aufgabe 2 Peter Fischer Papier.png

Löse folgende Exponentialgleichungen (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6)

Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)} beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt.

1.

Lösung: x=s

Punkte: 0 / 0
Mori hat einen Tipp für dich

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Löse die Exponentialgleichung 7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \mathbb{L}= (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

Weiter gehts zu Abschnitt III Trigonometrie
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Exponential- & Logarithmusfunktion
LERNPFAD | Exponential- und Logarithmusfunktion | Logarithmus
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