Exkurs Geometrie: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Vorlage:Trigonometrie}}
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<div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#FFD700; border-bottom:1px solid #aaaaaa;">
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[[Bild:Vista-Community Help.png|right|25px]] '''Lernpfad-Navigator'''
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*[[Potenzen und Potenzfunktionen]]
 
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*[[Exponential- & Logarithmusfunktion]]
 
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*[[Trigonometrie]]
 
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**[[Trigonometrische Funktionen]]
 
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**[[Berechnungen in Dreiecken]]
 
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**[[Skalarprodukt]]
 
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**[[Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]]
 
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*[[Abbildungen im Koordinatensystem]]
 
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*[[Prüfungsaufgaben]]
 
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== Wichtiges zur Geometrie ==
 
== Wichtiges zur Geometrie ==
 
   
 
   
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Auf dieser Seite sollen nocheinmal Themen zur Geometrie wiederholt werden, die bereits vor der zehnten Klasse bekannt sein sollen und für die Prüfung wichtig sein können|}
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Auf dieser Seite sollen Themen zur Geometrie wiederholt werden, die bereits vor der zehnten Klasse bekannt sein sollen und für die Prüfung wichtig sein können.
 
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=== Flächeninhaltsberechnungen ===  
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===Flächeninhaltsberechnungen ===  
 
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Im laufe deiner Schulzeit hast du für verschiedene Figuren Flächenformeln kennengelernt, wie <math>\quad a^2</math> für das Quadrat, <math>\quad a \cdot b</math> für der Rechteck oder <math>\quad g \cdot h</math> für das Parallelogramm. Eine Übersicht dieser Formeln findest du auf dem MindMap ''"Figuren und ihre Eigenschaften"''. Wenn du alle Angaben hast, um diese Formeln zu benutzen ist alles gut.
 
Im laufe deiner Schulzeit hast du für verschiedene Figuren Flächenformeln kennengelernt, wie <math>\quad a^2</math> für das Quadrat, <math>\quad a \cdot b</math> für der Rechteck oder <math>\quad g \cdot h</math> für das Parallelogramm. Eine Übersicht dieser Formeln findest du auf dem MindMap ''"Figuren und ihre Eigenschaften"''. Wenn du alle Angaben hast, um diese Formeln zu benutzen ist alles gut.
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{{pdf|Peter Fischer_Dreieck,_Körper.pdf|MindMap Dreiecke und Körper}}
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{{pdf|Peter Fischer_Vierecke,_Kreise.pdf|MindMap Vierecke und Kreise}}
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====Flächenberechnung durch Zerlegung====
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Falls dir Angaben fehlen oder es keine Formel für diese Figur existiert, so kannst du versuchen sie in einfachere Figuren zu Zerlegen. Häufig hilft es Figuren in Dreiecke zu zerlegen, da für Dreiecke mehrere Formeln zur Verfügung stehen.[[Bild:Peter_Fischer_Zerlegung.png|200px]]
  
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==== '''Flächenberechnung durch Zerlegung''' ====
 
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Falls dir Angaben fehlen oder es keine Formel für diese Figur existiert, so kannst du versuchen sie in einfachere Figuren zu Zerlegen. Häufig hilft es Figuren in Dreiecke zu zerlegen, da für Dreiecke mehrere Formeln zur Verfügung stehen.
 
  
  
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====Flächeninhalt von Dreiecken====
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{{#slideshare:flchedreieck-100817031706-phpapp01}}
  
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==== '''Flächeninhalt von Dreiecken''' ====
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Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
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{{pdf|Peter Fischer_Fläche_Dreieck.pdf|Fläche Dreieck}}
  
  
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{{#slideshare:skalarprodukt-100609154205-phpapp01}}
 
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=== Schrägbilder zeichnen===  
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==Aufgaben==
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Hier hast du es ebenfalls mit alten Abschlussprüfunen zu tun. Hier sind allerdings Vektoren in Abhängigkeit eines Winkels gegeben. Um Koordinaten oder Winkel zu berechenn solltest du das Skalarprodukt verwenden!
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
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| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"|'''Anleitung zum Anfertigen eines Schrägbildes. [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|60px]] '''  
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Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; B2). 
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In dem folgenden GeoGebraApplet wird Schritt für Schritt gezeigt wie ein Schrägbild einer Pyramide entsteht, die in der Abschlussprüfung 2006 Aufgabe A 3 zu zeichnen war.
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Du kannst der Anleitung folgen und auf einem Papier zeichnen, dein Ergebnis, dann mit dem am Computer vergleichen
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Die Pfeile <math>\vec{AB_n}={3 \cdot \cos \varphi -2 \choose 3}</math> und <math>\vec{AC_n}={2 \cdot \cos \varphi -3 \choose {\sin}^2 \varphi}</math> mit <math>\quad A(2|1)</math> spannen für <math>\varphi \in [0^\circ; 180^\circ]</math> Dreiecke <math>\quad AB_nC_n</math> auf.
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oder einfach die Schritte anzeigen.
 
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|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']]
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3.0 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis <math>\quad \overline{BC}=12cm</math> und der Höhe <math>\quad \overline{AD}=9cm</math> ist die Grundfläche der Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt D der Stecke <math>\quad [BC]</math> mit <math>\quad \overline{DS}=8cm</math>.
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|<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="600" width="900" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Gleichschenklig-Rechtwinklig.ggb"/>
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</popup>
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|Für <math>\quad \varphi =30^\circ</math> ergeben sich die Vektoren <math>\quad \vec{AB_1}</math> und <math>\quad \vec{AC_n}</math>, die einen Winkel mit dem Maß <math>\quad \alpha</math> einschließen. Berechnen sie das Maß <math>\quad \alpha</math> auf 2 Stellen gerundet.
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Lösung">  
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[[Bild:Peter_Fischer_Formelsammlung.png|40px]]
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* <math>\cos \alpha =\frac{\vec{AB_1} \bigodot \vec{AC_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{AC_1}|}</math>
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* <math>\cos \alpha =\frac{{0,60 \choose 3} \bigodot {-1,27 \choose 0,25}}{\sqrt{0,60^2+3^2} \cdot \sqrt{(-1,27)^2+0,25^2}}</math>
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* <math>\cos \alpha =\frac{0,60 \cdot (-1,27)+3 \cdot 0,25}{\sqrt{0,60^2+3^2} \cdot \sqrt{(-1,27)^2+0,25^2}}</math>
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* <math>\alpha=90,17^\circ</math>  
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</popup>
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<quiz display="simple">
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3.1 Zeichen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll die Strecke <math>\quad [AD]</math> auf der Schrägbildachse liegen.
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Für die Zeichnung: <math>\quad q=\frac{1}{2}; \omega=45^\circ</math>
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| type="{}" }
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'''Lösung:''' <math>\quad \alpha</math>={ 90,17 _7}° (2 Nachkommastellen)
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</quiz>
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<ggb_applet height="600" width="1050" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Schrägbild.ggb" />
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|Berechnen Sie den Wert von <math>\quad \varphi</math>, sodass der Punkt C<sub>4</sub> auf der y-Achse liegt, und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>4</sub>. (<math>C_n(2\cos \varphi-1|{\sin} \varphi)</math>)
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<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp">
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Punkte auf der y-Achse besitzen die x-Koordinate 0!
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</popup>
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<quiz display="simple">
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{
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| type="{}" }
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'''Lösung:''' <math>\varphi</math>={ 60,00 _5}° und C<sub>4</sub>({ 0 _5}|{ 1,75 _5}) (2 Nachkommastelle)
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</quiz>
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|}
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<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>
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In der Raumgeometrie werden stets Teildreiecke für Berechnungen herangezogen. Skizziere diese Teildreicke auf ein Konzeptpapier und trage bekannte Seiten und Winkel ein, um den Überblick zu behalten!
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{| border="1"
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|Im rechtwinkligen Dreieck A<sub>5</sub>C<sub>5</sub> ist die Strecke [B<sub>5</sub>C<sub>5</sub>] die Hypothenuse. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von <math>\varphi</math>.
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{|
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
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|<popup name="Tipp">
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Rechter Winkel zwischen 2 Vektoren -> Skalarprodukt = 0!  
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</popup>
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<quiz display="simple">
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{
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| type="{}" }
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'''Lösung:''' <math>\varphi</math>={ 30,12 _5}°  (2 Nachkommastelle)
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</quiz>
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===Thaleskreis===
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Mit dem Thaleskreis kannst du rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Im GeoGebra-Applet wird die Konstruktion Schrittweise erklärt.
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<ggb_applet height="550" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Thaleskreis.ggb" />
  
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===Figuren und Körper===
 
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'''Weiter gehts zu Abschnitt IV [[Abbildungen im Koordinatensystem]] '''
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Eine Übersicht über Vierecke und ihre Eigenschaften findest du im folgenden MindMap. In der Formelsammlung stehen die meisten Eigenschaften ebenfalls.
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{{pdf|Peter Fischer_Vierecke,_Kreise.pdf|MindMap Vierecke und Kreise}}
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Die Volumen und Oberflächenformeln für Körper sind auf dem MindMap zusammengefasst, außerdem spezielle Dreiecke und Flächenformeln für Dreiecke.
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{{pdf|Peter Fischer_Dreieck,_Körper.pdf|MindMap Dreiecke und Körper}}
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'''Weiter gehts zu Abschnitt IV [[../Abbildungen im Koordinatensystem|Abbildungen im Koordinatensystem]] '''
 
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<div  style="background:#FFD700;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Trigonometrie</div>
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
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[[LERNPFAD]] &#124; [[Trigonometrie]] &#124; [[Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[Skalarprodukt]] &#124; [[Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div><noinclude>
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[[../../|LERNPFAD]] &#124; [[../../Trigonometrie|Trigonometrie]] &#124; [[../Trigonometrische Funktionen|Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[../Berechnungen in Dreiecken|Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] &#124; [[../Exkurs Geometrie|Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div>

Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 11:53 Uhr

Vista-Community Help.png
Lernpfad-Navigator

LERNPFAD

Inhaltsverzeichnis

Wichtiges zur Geometrie

Bemerkung

Auf dieser Seite sollen Themen zur Geometrie wiederholt werden, die bereits vor der zehnten Klasse bekannt sein sollen und für die Prüfung wichtig sein können.



Flächeninhaltsberechnungen

Generelles um Flächeninhalte von Figuren zu ermitteln. Peter Fischer Idee.png
  • Flächenformeln
  • Flächenberechnung durch Zerlegung
  • Flächeninhalt von Dreiecken


Flächenformeln

Im laufe deiner Schulzeit hast du für verschiedene Figuren Flächenformeln kennengelernt, wie \quad a^2 für das Quadrat, \quad a \cdot b für der Rechteck oder \quad g \cdot h für das Parallelogramm. Eine Übersicht dieser Formeln findest du auf dem MindMap "Figuren und ihre Eigenschaften". Wenn du alle Angaben hast, um diese Formeln zu benutzen ist alles gut.
Pdf20.gif MindMap Dreiecke und Körper
Pdf20.gif MindMap Vierecke und Kreise

Flächenberechnung durch Zerlegung

Falls dir Angaben fehlen oder es keine Formel für diese Figur existiert, so kannst du versuchen sie in einfachere Figuren zu Zerlegen. Häufig hilft es Figuren in Dreiecke zu zerlegen, da für Dreiecke mehrere Formeln zur Verfügung stehen.Peter Fischer Zerlegung.png


Flächeninhalt von Dreiecken

{{#slideshare:flchedreieck-100817031706-phpapp01}}

Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
Pdf20.gif Fläche Dreieck


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Schrägbilder zeichnen

Anleitung zum Anfertigen eines Schrägbildes. Peter Fischer Papier.png

In dem folgenden GeoGebraApplet wird Schritt für Schritt gezeigt wie ein Schrägbild einer Pyramide entsteht, die in der Abschlussprüfung 2006 Aufgabe A 3 zu zeichnen war. Du kannst der Anleitung folgen und auf einem Papier zeichnen, dein Ergebnis, dann mit dem am Computer vergleichen oder einfach die Schritte anzeigen.

3.0 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis \quad \overline{BC}=12cm und der Höhe \quad \overline{AD}=9cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt D der Stecke \quad [BC] mit \quad \overline{DS}=8cm.

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3.1 Zeichen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll die Strecke \quad [AD] auf der Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung: \quad q=\frac{1}{2}; \omega=45^\circ

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In der Raumgeometrie werden stets Teildreiecke für Berechnungen herangezogen. Skizziere diese Teildreicke auf ein Konzeptpapier und trage bekannte Seiten und Winkel ein, um den Überblick zu behalten!

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Thaleskreis

Mit dem Thaleskreis kannst du rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Im GeoGebra-Applet wird die Konstruktion Schrittweise erklärt.

Figuren und Körper

Eine Übersicht über Vierecke und ihre Eigenschaften findest du im folgenden MindMap. In der Formelsammlung stehen die meisten Eigenschaften ebenfalls.
Pdf20.gif MindMap Vierecke und Kreise

Die Volumen und Oberflächenformeln für Körper sind auf dem MindMap zusammengefasst, außerdem spezielle Dreiecke und Flächenformeln für Dreiecke.
Pdf20.gif MindMap Dreiecke und Körper


Weiter gehts zu Abschnitt IV Abbildungen im Koordinatensystem
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Trigonometrie
LERNPFAD | Trigonometrie | Trigonometrische Funktionen | Berechnungen in Dreiecken | Skalarprodukt | Exkurs: Wichtiges zur Geometrie
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