Berechnungen in Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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==Trigonometrie== | ==Trigonometrie== | ||
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Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken. | Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken. | ||
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| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] ''' | | width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] ''' | ||
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− | Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert)). | + | Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)). |
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− | Die | + | Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichung <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>. |
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− | |Berechne den Winkel <math>\quad ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>. | + | |Berechne den Winkel <math>\quad \angle ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>, <math>\quad x_{M2}=3</math>. |
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
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*D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln | *D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln | ||
*<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln | *<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln | ||
− | *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden | + | *Kosinussatz im Dreieck <math>AM_2D \quad</math> anwenden |
− | *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel | + | *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel <math>\quad \angle DM_2A</math> mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird. |
</popup> | </popup> | ||
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{ | { | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | '''Lösung:''' <math>\quad \ | + | '''Lösung:''' <math>\quad \angle ADM_2</math>={ 71.57 _7}° (2 Nachkommastellen) |
</quiz> | </quiz> | ||
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|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des | |Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des | ||
Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>. | Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>. | ||
− | Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst | + | Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte C<sub>n</sub> den Trägergraphen. |
+ | {| | ||
+ | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
+ | |<popup name="Tipp"> | ||
+ | Verfahren zur Trägergraphermittlung wird in der Präsentation erklärt! | ||
+ | </popup> | ||
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{| border="1" | {| border="1" | ||
− | |Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)= | + | |Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=(5x^2-24x+36)</math>FE |
{| | {| | ||
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
|<popup name="Tipp"> | |<popup name="Tipp"> | ||
− | + | *36FE in <math>A(x) \quad</math> einsetzen. | |
+ | *Allgemeine Lösungsformel benutzen! | ||
</popup> | </popup> | ||
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{| border="1" | {| border="1" | ||
|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>. | |Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>. | ||
+ | {| | ||
+ | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
+ | |<popup name="Tipp"> | ||
+ | *Suche einfache, flächengleiche Figuren! | ||
+ | *Verwende den Punkt M<sub>n</sub>! | ||
+ | </popup> | ||
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<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ | { | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | '''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8 | + | '''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} (ganze Zahlen) und C<sub>4</sub>{ 8.4 _3}|{ 1.2 _3} (1 Nachkommastelle) |
</quiz> | </quiz> | ||
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|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt. | |Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt. | ||
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt. | Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt. | ||
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+ | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
+ | |<popup name="Tipp"> | ||
+ | C<sub>5</sub> liegt auf dem Trägergraphen und der Geraden g! | ||
+ | </popup> | ||
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<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ | { | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | '''Lösung:''' C<sub>5</sub>{ 1 | + | '''Lösung:''' C<sub>5</sub>{ 1.2 _3}|{ 3.6 _3} (1 Nachkommastelle) |
</quiz> | </quiz> | ||
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<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | <span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | ||
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{| | {| | ||
|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']] | |[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']] | ||
− | |<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="570" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter | + | |<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="570" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Pyramidegut.ggb"/> |
</popup> | </popup> | ||
|} | |} | ||
Zeile 140: | Zeile 144: | ||
{| border="1" | {| border="1" | ||
− | |Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>. | + | |Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon \quad</math>. |
{| | {| | ||
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
|<popup name="Tipp 1"> | |<popup name="Tipp 1"> | ||
− | + | Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt. | |
</popup> | </popup> | ||
|} | |} | ||
Zeile 150: | Zeile 154: | ||
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
|<popup name="Tipp 2"> | |<popup name="Tipp 2"> | ||
− | Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup> | + | * Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.) |
+ | * Skizziere diese Teildreicke auf ein Konzeptpapier und trage bekannte Seiten und Winkel ein, um den Überblick zu behalten!</popup> | ||
|} | |} | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ | { | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | '''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 125 | + | '''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 125.26 _7}° (2 Nachkommastellen) |
</quiz> | </quiz> | ||
|} | |} | ||
Zeile 176: | Zeile 181: | ||
{| border="1" | {| border="1" | ||
− | |Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich | + | |Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich lang sind. |
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ | { | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | '''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 100 | + | '''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 100.03 _7}° (2 Nachkommastellen) |
</quiz> | </quiz> | ||
|} | |} | ||
− | '''Weiter gehts zu [[Skalarprodukt]] ''' | + | '''Weiter gehts zu [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] ''' |
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | <span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | ||
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<div style="background:#FFD700;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Trigonometrie</div> | <div style="background:#FFD700;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Trigonometrie</div> | ||
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;"> | <div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;"> | ||
− | [[LERNPFAD]] | [[Trigonometrie]] | [[Trigonometrische Funktionen]] | [[Berechnungen in Dreiecken]] | [[Skalarprodukt]] | [[Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div | + | [[../../|LERNPFAD]] | [[../../Trigonometrie|Trigonometrie]] | [[../Trigonometrische Funktionen|Trigonometrische Funktionen]] | [[../Berechnungen in Dreiecken|Berechnungen in Dreiecken]] | [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] | [[../Exkurs Geometrie|Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div> |
Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 12:51 Uhr
Trigonometrie
Arbeitsauftrag
Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an
Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen! |
{{#slideshare:dreiecke-100817025839-phpapp02}}
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Berechnungen in Dreiecken
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Aufgaben
Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.
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Berechne den Winkel ![]() ![]() ![]()
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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke ![]() ![]()
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Die Dreiecke ![]() ![]()
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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt.
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Aufgabe 2 ![]() Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2). Das Quadrat ABCD mit |
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Berechnen sie das größmögliche Maß ![]()
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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge ![]() ![]()
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Berechnen Sie das Winkelmaß ![]() ![]() ![]() |
Weiter gehts zu Skalarprodukt
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