Vorstellung des neuen Körpers "Pyramide": Unterschied zwischen den Versionen
K (→1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium) |
|||
| (17 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| + | __NOTOC__ | ||
| + | |||
== 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt == | == 1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt == | ||
| − | Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - | + | In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Körpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel. |
| − | Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.<br /> | + | |
| − | Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.<br /> | + | In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele:<br /> |
| + | |||
| + | <div class="zuordnungs-quiz"> | ||
| + | <big>'''Geometrische Körper in unserer Umwelt'''</big><br> | ||
| + | Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu. | ||
| + | {| | ||
| + | |- | ||
| + | | [[Bild:Geok1.jpg|90px]] || (Halb-)Kugel | ||
| + | |- | ||
| + | | [[Bild:Geok2.jpg|90px]] || Quader | ||
| + | |- | ||
| + | | [[Bild:Geok3.jpg|90px]] || Kugel | ||
| + | |- | ||
| + | | [[Bild:Geok4.jpg|90px]] || Zylinder | ||
| + | |- | ||
| + | | [[Bild:Geok5.jpg|90px]] || Kegel | ||
| + | |- | ||
| + | | [[Bild:Geok6.jpg|90px]] || Kegelstumpf | ||
| + | |} | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | [[Bild:White.jpg|225px]]<br /> | ||
| + | |||
| + | '''Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen ''neuen'' - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.'''<br /> | ||
| + | '''Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.'''<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| + | |||
| + | |||
[[Bild:pyramide.jpg|250px]] | [[Bild:pyramide.jpg|250px]] | ||
[[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]] | [[Bild:Pyramide-Winter2006.jpg|250px]] | ||
[[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]] | [[Bild:Louvrepyramide.jpg|250px]] | ||
| − | + | [[Bild:Mulltonne.jpg|250px]] | |
| − | + | <br /><br /> | |
| − | + | <br /><br /> | |
| + | <br /> | ||
== 1.2 Definition == | == 1.2 Definition == | ||
| Zeile 19: | Zeile 48: | ||
Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks, | Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks, | ||
| − | so | + | so entsteht eine '''n-seitige Pyramide'''. Das n-Eck heißt '''Grundfläche''' und S |
heißt '''Spitze''' der Pyramide. | heißt '''Spitze''' der Pyramide. | ||
| Zeile 36: | Zeile 65: | ||
== 1.3 Pyramidenarten == | == 1.3 Pyramidenarten == | ||
<br /> | <br /> | ||
| + | |||
| + | ==== 1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide ==== | ||
| + | |||
Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche. | Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche. | ||
<br /> | <br /> | ||
Man unterscheidet auch zwischen '''<u>geraden</u>''' und '''<u>schiefen</u>''' Pyramiden:<br /><br /> | Man unterscheidet auch zwischen '''<u>geraden</u>''' und '''<u>schiefen</u>''' Pyramiden:<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | <br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | |||
| + | {| class="wikitable" | ||
| + | |- | ||
| + | | [[Bild:Pyramidegerade.jpg|250px]] || [[Bild:Pyramideschief.jpg|250px]][[Bild:Pyramideschief2.jpg|250px]] | ||
| + | |- | ||
| + | | '''gerade Pyramide''' || '''schiefe Pyramiden''' | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <br /><br /> | ||
| + | '''Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?''' | ||
| + | <br /><br /> | ||
| + | |||
| + | <div class="schuettel-quiz"> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke: | ||
| + | |||
| + | Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die Höhe der Pyramide '''innerhalb'''<br /> | ||
| + | |||
| + | liegt, und der Höhenfußpunkt F mit dem '''Mittelpunkt''' der Grundfläche zusammenfällt.<br /> | ||
| + | |||
| + | Also liegt die Spitze S '''senkrecht''' über dem Mittelpunkt der '''Grundfläche'''.<br /> | ||
| + | |||
| + | Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn die Spitze S nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche <br /> | ||
| + | |||
| + | liegt. Dabei kann die Höhe sogar '''außerhalb''' der Pyramide liegen, so dass der '''Höhenfußpunkt''' F nicht in der '''Grundfläche''' G liegt. | ||
| + | |||
| + | </div> | ||
| + | [[Bild:White.jpg|150px]] | ||
| + | |||
| + | ==== 1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium ==== | ||
| + | |||
| + | Wie wir soeben erfahren haben, können schiefe und gerade Pyramiden unterschieden werden. | ||
| + | |||
| + | Pyramiden können aber auch nach ihrer Grundfläche oder Höhe unterschieden werden. | ||
| + | |||
| + | Beispiele: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | * Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif Tetraeder] genannt) | ||
| + | * Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche | ||
| + | * Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe sind volumengleich. Sind ihre Grundflächen sogar kongruent (dechkungsgleich), sind die Pyramiden identisch.<br /> | ||
| + | Ob Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt volumengleich sind, hängt zusätzlich von den Pyramidenhöhen ab. | ||
Aktuelle Version vom 19. August 2010, 16:50 Uhr
1.1 Die Pyramide in unserer Umwelt
In unserer Umwelt besteht jeder Gegenstand - wenn man von leichten Veränderungen wie Abrundungen bei Schränken oder einem Henkel an einer Tasse absieht - aus geometrischen Körpern wie z.B. Kugel, Prisma, Quader oder Kegel.
In folgender Aufgabe siehst du einige Beispiele:
Geometrische Körper in unserer Umwelt
Ordne die Bilder und die Begriffe jeweils richtig zu.
 |
(Halb-)Kugel |
 |
Quader |
 |
Kugel |
 |
Zylinder |
 |
Kegel |
 |
Kegelstumpf |
Schüler betrachten die Pyramide in der Schule grundsätzlich als einen neuen - zunächst unbekannten - Körper, den sie höchstens von den ägyptischen Pyramiden kennen.
Doch bei näherer Betrachtung umgibt die Pyramide uns häufiger als wir es glauben mögen.
1.2 Definition
Verbindet man die Eckpunkte eines n-Ecks mit einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks, so entsteht eine n-seitige Pyramide. Das n-Eck heißt Grundfläche und S heißt Spitze der Pyramide.
Der Abstand der Spitze von der Grundfläche heißt Höhe. Die Seiten der Grundfläche heißen Grundkanten, die Verbindungsstrecken der Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze sind die Seitenkanten. Die Seitenflächen sind immer Dreiecke, die zusammen die Mantelfläche bilden. Ihren Inhalt bezeichnet man kurz mit M.
1.3 Pyramidenarten
1.3.1 Gerade / Schiefe Pyramide
Pyramiden unterscheiden sich nicht nur in der Anzahl der Seiten bzw. der Ecken der Grundfläche.
Man unterscheidet auch zwischen geraden und schiefen Pyramiden:
 |
 
|
| gerade Pyramide | schiefe Pyramiden |
Was ist deiner Meinung nach das Kriterium für eine schiefe bzw. gerade Pyramide?
Fülle die Lücken aus! Das Lösungswort steht jeweils verdreht hinter der Lücke:
Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass die Höhe der Pyramide innerhalb
liegt, und der Höhenfußpunkt F mit dem Mittelpunkt der Grundfläche zusammenfällt.
Also liegt die Spitze S senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
Dagegen ist eine Pyramide schief, wenn die Spitze S nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche
liegt. Dabei kann die Höhe sogar außerhalb der Pyramide liegen, so dass der Höhenfußpunkt F nicht in der Grundfläche G liegt.
1.3.2 Grundfläche und Höhe als Kriterium
Wie wir soeben erfahren haben, können schiefe und gerade Pyramiden unterschieden werden.
Pyramiden können aber auch nach ihrer Grundfläche oder Höhe unterschieden werden.
Beispiele:
- Pyramide mit vier gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Seitenflächen (Diese Pyramide wird auch Tetraeder genannt)
- Pyramiden mit einem regelmäßigem 17-Eck, 20-Eck oder 24-Eck als Grundfläche
- Zwei Pyramiden mit identischen trapezförmigen Grundflächen jedoch mit unterschiedlichen Höhen
Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe sind volumengleich. Sind ihre Grundflächen sogar kongruent (dechkungsgleich), sind die Pyramiden identisch.
Ob Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt volumengleich sind, hängt zusätzlich von den Pyramidenhöhen ab.
