Volumen der Pyramide: Unterschied zwischen den Versionen

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(Prinzip von Cavalieri an Pyramiden)
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== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==
 
== 4.2 Die Volumenformel der Pyramide ==
  
  
'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für alle Prismen, sowie für den Zylinder "Grundfläche mal Höhe" also G x h.'''<br />
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'''Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.'''<br />
'''In den folgenden Video wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.'''<br />
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''Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.''
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ob du das Thema '''''Pyramide''''' (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.
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Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!
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''Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.''
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'''Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.'''<br />
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Die Pyramide P besitzt eine Höhe von '''4 (in m).'''
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'''Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben (Maße in cm):'''
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Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben:<br />
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''(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)''
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# Berechne die Grundfläche G!
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# Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
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# Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?
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(Teilergebnisse: [[Bild:Acem.jpg|30px]] = 10,20cm ; [[Bild:Cdem.jpg|30px]] = 12,37cm)
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Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit <u>zwei Stellen nach dem Komma</u> angeben, also in der Form x,xx):<br />
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Die Grundfläche G beträgt '''8,00 (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!)''', die Mantelfläche M dagegen '''80,29 (in cm²)'''.<br />
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Die Oberfläche O ist somit '''88,29 (in cm²) groß.'''<br />
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Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt '''34,46 (in °)'''.
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Klappe mit Hilfe des Schiebereglers die Pyramide auf, und ordne die Farben richtig zu:<br />
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Die Grundfläche ist '''blau''' gefärbt. Die Pyramidenseite vorne ist '''rosa''', die rechte<br />
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Seite ist '''braun''' und die hinten liegende Seite ist dementsprechend '''grün'''.<br />
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Aktuelle Version vom 27. September 2010, 14:50 Uhr


4. Volumen der Pyramide

Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können, widmen wir uns zunächst dem Prinzip von Cavalieri.




4.1 Prinzip von Cavalieri

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist:

1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1.
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist.
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen.


Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn...
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen.
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind.
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet.




Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an:


Geld1.JPG
Geld2.JPG
Geld3.JPG
Geld4.JPG
Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen Doch was ist, wenn eines der Körper "schief" steht? Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten





Prinzip von Cavalieri an Pyramiden

Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor.
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern.
Hierbei soll auch verdeutlicht werden:

  • Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen inhaltsgleich sein, nicht identisch
  • Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur die Fläche, also der Inhalt









4.2 Die Volumenformel der Pyramide

Bekanntlich lautet die Volumenformel für den Zylinder, sowie für alle Prismen "Grundfläche mal Höhe" also G x h.

In den folgenden zwei Videos wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.


Video #1: _____________________________________________________________________________ Video #2:

_________________________



=> Eine Prisma hat das dreifache Volumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche und Höhe!



Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei www.realmath.de):

Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.







=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel "Grundfläche mal Höhe" (G * h)

=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel "Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe" (1/3 * G * h)



Pyramidemerke.jpg

White.jpg

4.3 Übungen

In diesem Abschnitt hast du die Möglichkeit, anhand folgender Aufgaben festzustellen, ob du das Thema Pyramide (mit samt Oberfläche, Volumen, Grund- und Mantelfläche) verstanden hast.


Hinweispfeil.jpg Für die folgenden Aufgaben, benötigst du Stift, Papier und gegebenenfalls deinen Taschenrechner.

Sämtliche Endergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet!


Übung 1:

Diese Aufgabe ist durch Kopfrechnen zu lösen. Eine Skizze kann jedoch hilfreich sein.

Eine gerade Pyramide P hat das Volumen V = 48m³.
Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6m.
Wie hoch muss diese Pyramide P dann sein?

Überprüfe deine Lösung:
Die Pyramide P besitzt eine Höhe von (in m).

White.jpg

Übung 2:

Hier hast du bereits das Schrägbild der Pyramide vorgegeben (Maße in cm):



Entnehme der Zeichnung gegebene Maße und löse folgende Aufgaben:
(Hinweis: Nutze gegebenenfalls die Formelsammlung)

  1. Berechne die Grundfläche G!
  2. Berechne den Mantel M, und anschließend die Oberfläche O!
  3. Wie groß ist der Winkel den die Gerade CD mit der Grundfläche einschließt?


(Teilergebnisse: Acem.jpg = 10,20cm ; Cdem.jpg = 12,37cm)

Überprüfe deine Lösung (Lösungen mit zwei Stellen nach dem Komma angeben, also in der Form x,xx):
Die Grundfläche G beträgt (in cm², zwei Stellen nach dem Komma!), die Mantelfläche M dagegen (in cm²).
Die Oberfläche O ist somit (in cm²) groß.
Der Winkel zwischen der Geraden CD und der Grundfläche beträgt (in °).

Klappe mit Hilfe des Schiebereglers die Pyramide auf, und ordne die Farben richtig zu:
Die Grundfläche ist                     gefärbt. Die Pyramidenseite vorne ist                     , die rechte
Seite ist                     und die hinten liegende Seite ist dementsprechend                     .

blaubraungrünrosa

White.jpg