Berechnungen in Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

Aus DMUW-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
 
(7 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
<div style="float:right;background:#fff;margin-left:5px; padding:0px; border:1px solid #aaaaaa; width:16em">
+
{{Vorlage:Trigonometrie}}
−
<div style="font-size:100%; line-height:120%; padding: .5em; background-color:#FFD700; border-bottom:1px solid #aaaaaa;">
+
−
[[Bild:Vista-Community Help.png|right|25px]] '''Lernpfad-Navigator'''
+
−
</div>
+
−
<div style="background:#fff;padding: .5em; padding-bottom: 1em; font-size: 90%;">
+
−
 
+
−
*[[Potenzen und Potenzfunktionen]]
+
−
*[[Exponential- & Logarithmusfunktion]]
+
−
*[[Trigonometrie]]
+
−
**[[Trigonometrische Funktionen]]
+
−
**[[Berechnungen in Dreiecken]]
+
−
**[[Skalarprodukt]]
+
−
**[[Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]]
+
−
*[[Abbildungen im Koordinatensystem]]
+
−
*[[Prüfungsaufgaben]]
+
−
</div>
+
−
<div style="font-size:90%; padding: .5em; background-color:#FFD700; border-top:1px solid #aaaaaa;">
+
−
[[LERNPFAD]]
+
−
</div></div><noinclude>[[Kategorie:Vorlage:Benutzerbausteine|.]]
+
−
[[Kategorie:Vorlage:Navigationsblöcke|Erste Hilfe]]</noinclude>
+
  
 
==Trigonometrie==  
 
==Trigonometrie==  
Zeile 46: Zeile 27:
 
| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
 
| width="900" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
 
--------
 
--------
−
Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert)).   
+
Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)).   
 
------------
 
------------
 
Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichung <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>.
 
Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichung <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>.
Zeile 58: Zeile 39:
  
 
{| border="1"
 
{| border="1"
−
|Berechne den Winkel <math>\quad \angle ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>.
+
|Berechne den Winkel <math>\quad \angle ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>, <math>\quad x_{M2}=3</math>.
 
{|
 
{|
 
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
Zeile 80: Zeile 61:
 
|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des  
 
|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des  
 
Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
 
Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
−
Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst, die Punkte C<sub>n</sub> zeichnen den Trägergraphen.
+
Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte C<sub>n</sub> den Trägergraphen.
 +
{|
 +
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 +
|<popup name="Tipp"> 
 +
Verfahren zur Trägergraphermittlung wird in der Präsentation erklärt!
 +
</popup>
 +
|}
 +
 
 
|}
 
|}
  
Zeile 86: Zeile 74:
  
 
{| border="1"
 
{| border="1"
−
|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=(85x^2-24x+36)</math>FE
+
|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=(5x^2-24x+36)</math>FE
 
{|
 
{|
 
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 
|<popup name="Tipp">   
 
|<popup name="Tipp">   
−
Suche einfache, flächengleiche Figuren!
+
*36FE in <math>A(x) \quad</math> einsetzen.
 +
*Allgemeine Lösungsformel benutzen!
 
</popup>
 
</popup>
 
|}
 
|}
Zeile 100: Zeile 89:
 
{| border="1"
 
{| border="1"
 
|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
 
|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
 +
{|
 +
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 +
|<popup name="Tipp"> 
 +
*Suche einfache, flächengleiche Figuren!
 +
*Verwende den Punkt M<sub>n</sub>!
 +
</popup>
 +
|}
 
<quiz display="simple">
 
<quiz display="simple">
 
{
 
{
 
| type="{}" }
 
| type="{}" }
−
'''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8.4 _3}|{ 1.2 _3} (1 Nachkommastelle)
+
'''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} (ganze Zahlen) und C<sub>4</sub>{ 8.4 _3}|{ 1.2 _3} (1 Nachkommastelle)
 
</quiz>
 
</quiz>
 
|}
 
|}
 +
  
 
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>
 
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>
Zeile 112: Zeile 109:
 
|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
 
|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
 
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
 
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
 +
{|
 +
|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 +
|<popup name="Tipp"> 
 +
C<sub>5</sub> liegt auf dem Trägergraphen und der Geraden g!
 +
</popup>
 +
|}
 
<quiz display="simple">
 
<quiz display="simple">
 
{
 
{
Zeile 118: Zeile 121:
 
</quiz>
 
</quiz>
 
|}
 
|}
 +
  
 
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>  
 
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>  
Zeile 186: Zeile 190:
  
  
−
'''Weiter gehts zu  [[Skalarprodukt]] '''
+
'''Weiter gehts zu  [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] '''
 
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>  
 
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span>  
  
Zeile 192: Zeile 196:
 
<div  style="background:#FFD700;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Trigonometrie</div>
 
<div  style="background:#FFD700;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Trigonometrie</div>
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
−
[[LERNPFAD]] &#124; [[Trigonometrie]] &#124; [[Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[Skalarprodukt]] &#124; [[Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div><noinclude>
+
[[../../|LERNPFAD]] &#124; [[../../Trigonometrie|Trigonometrie]] &#124; [[../Trigonometrische Funktionen|Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[../Berechnungen in Dreiecken|Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] &#124; [[../Exkurs Geometrie|Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div>

Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 11:51 Uhr

Vista-Community Help.png
Lernpfad-Navigator

LERNPFAD

Trigonometrie

Arbeitsauftrag

Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an

  • rechtwinkligen Dreiecken
  • und allgemeinen Dreiecken.

Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen!

{{#slideshare:dreiecke-100817025839-phpapp02}}

Falls die Präsentation nicht geladen werden kann, kannst du sie auch als PDF anschauen. Einfach anklicken.
Pdf20.gif Berechnungen in Dreiecken
Leerzeile


Aufgaben

Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.

Aufgabe 1 Peter Fischer Papier.png

Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)).

Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke AB_nC_n \quad bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt \quad A(0|0). Auf der Geraden g mit der Gleichung \quad y=-2x+6 liegen die Mittelpunkte \quad M_n(x|-2x+6) der Hyptenusen \quad[AB_n].

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung
Berechne den Winkel \quad \angle ADM_2, wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten \quad C_2(3|3), \quad x_{M2}=3.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \quad \angle ADM_2=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

Leerzeile

Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als \quad C_n(3x-6|-x+6). Ermittle die Gleichung des

Trägergraphen h der Punkte Cn. Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte Cn den Trägergraphen.

Mori hat einen Tipp für dich

Leerzeile

Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke \quad AB_nC in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: \quad A(x)=(5x^2-24x+36)FE
Mori hat einen Tipp für dich

Leerzeile


Die Dreiecke \quad AB_3C_3 und \quad AB_4C_4 haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: C3| (ganze Zahlen) und C4| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0


Leerzeile

Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt.

Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: C5| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0


Leerzeile

Aufgabe 2 Peter Fischer Papier.png

Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).

Das Quadrat ABCD mit \overline{AB}=6cm ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß \gamma = 50^\circ. Der Punkt liegt auf der Kante \quad[AS] mit \overline{AQ}=6cm. Die Punkte \quad R_n liegenauf der Kante \quad [CS], wobei die Winkel \quad R_nQS das Maß \quad \epsilon mit \quad \epsilon > 0^\circ haben.

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung


Berechnen sie das größmögliche Maß \epsilon \quad.
Mori hat einen Tipp für dich
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

Leerzeile

Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge \quad \overline{QR_n} in Abhängigkeit von \quad \epsilon gilt:

\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm. [Teilergebnis: \quad \overline{AS}=10,11cm]

Mori hat einen Tipp für dich

Leerzeile

Berechnen Sie das Winkelmaß \quad \epsilon so, dass die Strecke \quad [QR_1] und \quad [QS] gleich lang sind.

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0


Weiter gehts zu Skalarprodukt Leerzeile


Trigonometrie
LERNPFAD | Trigonometrie | Trigonometrische Funktionen | Berechnungen in Dreiecken | Skalarprodukt | Exkurs: Wichtiges zur Geometrie
Von „http://dmuw.zum.de/index.php?title=Lernpfade/Prüfungsvorbereitung/Trigonometrie/Berechnungen_in_Dreiecken&oldid=30120“