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Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 11:51 Uhr
Trigonometrie
| Arbeitsauftrag
Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an
Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen! |
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Berechnungen in Dreiecken
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Aufgaben
Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.
Aufgabe 1 
Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)). Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke |
bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt 
. Auf der Geraden g mit der Gleichung 
liegen die Mittelpunkte 
der Hyptenusen ![\quad[AB_n]](/images/math/7/8/9/7897709debcde617572554254fb5973c.png)
.
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Berechne den Winkel  , wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten  ,  .
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und 
mit der Formel für Streckenlänge ermitteln
anwenden
mit 
berechnet wird.
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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als  . Ermittle die Gleichung des
Trägergraphen h der Punkte Cn. Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte Cn den Trägergraphen.
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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke  in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt:  FE
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einsetzen.
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Die Dreiecke  und  haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.
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| Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt.
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| Aufgabe 2
Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2). Das Quadrat ABCD mit |
ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß 
.
Der Punkt liegt auf der Kante ![\quad[AS]](/images/math/1/b/1/1b1864eaf7f103073ea35300bdc9b2cc.png)
mit 
. Die Punkte 
liegenauf der Kante ![\quad [CS]](/images/math/5/e/7/5e7a3de0416f94a037269c8c4f5914b7.png)
, wobei die Winkel 
das Maß 
haben.
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Berechnen sie das größmögliche Maß  .
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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge  in Abhängigkeit von  gilt:
|
.
[Teilergebnis: 
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Berechnen Sie das Winkelmaß so, dass die Strecke ![\quad [QR_1]](/images/math/1/b/f/1bff42e8e7c8dc3254891d165380ddf3.png) und ![\quad [QS]](/images/math/6/8/1/681d454076a98ce0d45cfe29848e28ea.png) gleich lang sind.
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