Zerlegungsgleichheit von Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

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==Zerlegungsgleichheit von Figuren==
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===1.Station: Einführung===
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===Einführung===
 
===Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?===
 
===Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?===
 
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:'''Aufgabenstellung:'''
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: '''''Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen. '''''
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* Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
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* Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.
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* Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?
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<ggb_applet height= "550" width="900" filename="Ebert_AufgabeKapitänInselneu3.ggb"/>
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<ggb_applet height= "540" width="870" showResetIcon="true" filename="Ebert_Insel.ggb‎" useLocalJar = "true" />
 
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:'''''Aufgabenstellung:'''''<br>
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: ''''' Unter den schwarzen Inseln befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man JEDE Insel vollständig zusammensetzen kann.
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* '''''' Beginne mit einer Insel und lege sie mit den Teilfiguren aus.'''''
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* '''''Wenn Du Hilfe brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.'''''
 
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*'''Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:'''  
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'''''Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:'''''  
 
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Die größte Insel ist '''Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)'''
 
Die größte Insel ist '''Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)'''
 
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*'''Begründe Deine Antwort, warum ist diese Insel die größte?'''
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Du siehst, auf allen drei Inseln lassen sich die gleichen Figuren legen, außer bei B.
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Bei B brauchst Du eine Figur mehr, das kleine graue Dreieck. Also hat B den größeren Flächeninhalt und ist somit die größere Insel.
 
Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.  
 
Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.  
<br>Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.}}
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* Figuren, die mit der <span style="color: green">'''gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt'''</span> werden können, kann man natürlich auch <span style="color: green">'''in diese Teilfiguren zerlegen'''.</span>
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*Da die Inseln A und C in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man '''Figur A und C''' daher auch <span style="color:#00CD00">'''zerlegungsgleich,'''</span>
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* Figuren, die mit der '''gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt''' werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren '''zerlegen'''. 
 
*Da die Inseln A und B in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch <span style="color:#00CD00">'''zerlegungsgleich,'''</span>
 
 
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===2.Station: Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit===
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===Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit===
 
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:Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils '''fünf Teilfiguren''' zerlegt.
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*'''''Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils <span style="color: blue">fünf Teilfiguren</span> zerlegt.''''''
:Diese Teilfiguren sind '''paarweise zueinander kongruent''', d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren. <br>
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*'''''Die Teilfiguren sind <span style="color: blue">paarweise zueinander kongruent</span>, denn alle Teilfiguren kommen sowohl im Quadrat, als auch im Sechseck vor''''' <br>
:Aus den '''Eigenschaften der Kongruenz''' ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den '''gleichen Flächeninhalt''' besitzen.
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*'''''Und da die Figuren die selben, also kongruent sind, haben sie den gleichen Flächeninhalt.
 
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:'''Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F<sub>1</sub> bis F<sub>5</sub> zusammen.'''
 
:'''Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F<sub>1</sub> bis F<sub>5</sub> zusammen.'''
 
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'''Ergänze die fehlenden Felder'''
 
 
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F<sub>Quadrat</sub> = '''F<sub>1</sub>''' + F<sub>2</sub> + '''F<sub>3</sub>''' + F<sub>4</sub> + '''F<sub>5</sub>''' ='''F<sub>Sechseck</sub>''' <br>
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F<sub>Quadrat</sub> = F<sub>1</sub> + '''F<sub>2</sub>''' + F<sub>3</sub> + F<sub>4</sub> + F<sub>5</sub> = '''F<sub>Sechseck</sub>''' <br>
 
Somit  haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den '''gleichen''' Flächeninhalt!
 
Somit  haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den '''gleichen''' Flächeninhalt!
 
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:::'''Nils fasst hier Dein Ergebnis kurz zusammen. Übertrage es in Dein Heft:'''
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* '''Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren. '''<br>  
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* '''Den Flächeninhalt einer Figur erhält man, wenn man die einzelnen Flächeninhalte der Teilfiguren addiert '''<br>  
 
* '''Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können'''
 
* '''Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können'''
 
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* '''Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen.'''  
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* '''Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen.'''  
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* '''Der Flächeninhalt  dieser beiden  Figuren ändert sich dabei aber nicht.''' <br>  
 
* '''Der Flächeninhalt  dieser beiden  Figuren ändert sich dabei aber nicht.''' <br>  
 
* <span style="color: green">'''Somit können wir feststellen, dass '''zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,''' <br> obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!'''</span>
 
* <span style="color: green">'''Somit können wir feststellen, dass '''zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,''' <br> obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!'''</span>
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:'''Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:'''
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:Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?
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:'''''Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?'''''
 
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[[Hier findest du den Hinweis ]]
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'''Bist Du sicher,dass Du den Hinweis brauchst?'''<br>
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[[/Hinweis|Hier findest du den Hinweis ]]
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===3. Station: Zusammenfassung===
 
:'''Übertrage folgende Definition in Dein Heft:'''
 
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|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
 
<span style="color:#ff0000">'''Zerlegungsgleichheit von Figuren'''</span>
 
Zwei Figuren sind <span style="color:#ff0000">'''zerlegungsgleich,'''</span> wenn sie in paarweise <span style="color:#ff0000">'''kongruente Teilfiguren'''</span> zerlegt werden können.<br> ''Beispiel:''
 
<br> [[Bild:Ebert_Merkbilder_Zerlegungsgleichheit.jpg]]
 
<br> Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen <span style="color:#ff0000">'''Flächeninhalt'''</span>
 
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<br>
 
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 +
'''Hier geht es weiter zur nächsten Station:'''
 
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===4.Station: Anwendung===
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[[/Zusammenfassung zur Zerlegungsgleichheit/]]
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+
:'''Maja weiß jetzt, wozu man die Zerlegungsgleichheit von Figuren nutzen kann. Lies, was sie Dir erzählen möchte:'''
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| [[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]||
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* Ich weiß bereits, wie man den Flächeninhalt von Quadraten berechnet, wenn die Seitenlänge gegeben ist.
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[[Bild:Ebert_Merkbilder_Zerlegungsgleichheit.jpg]]
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* Da  das nebenstehende Sechseck zerlegungsgleich zum Quadrat ist und damit den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat besitzt. kennen wir auch den Flächeninhalt des Sechsecks.
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* <span style="color: #008B00">'''Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.'''</span>
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|}
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===5.Station:Übung===
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===Aufgabe 1===
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Begründe, warum die folgenden 3 Figuren, den gleichen Flächeninhalt besitzen:
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===Aufgabe 2: Ergänzungsgleiches Parallelogramme===
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'''Maja zerschneidet das Parallelogramm ABCE entlang den roten Linien. [BD] ist die Diagonale, [FK] die eine Parallele zur Seite [BC] und [LM] eine Parallele zu den anderen  [AB] Die Strecken schneiden sich im Punkt S'''
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[[Bild:Ebert_parallelogrammAufgabeErgänzung.jpg|center]]
+
 
+
'''Warum besitzen die beiden blauen enstehenden Teilparallelogramme AFSL und MCKS den gleichen Flächeninhalt?'''
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===Aufgabe 3: Ergänzungsgleiche Figuren===
+
 
+
Zeige, dass  das Quadrat und das Parallelogramm den gleichen Flächeninhalt haben:
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[[Bild:Ebert_QuadratundParallelogramm.jpg|center]]
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Aktuelle Version vom 28. Dezember 2011, 14:08 Uhr

Ebert MotivatorenEinstiegFI.jpg

Einführung

Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?


Ebert KapitänCheckInsel.jpg




Aufgabenstellung:
Unter den schwarzen Inseln befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man JEDE Insel vollständig zusammensetzen kann.
  • ' Beginne mit einer Insel und lege sie mit den Teilfiguren aus.
  • Wenn Du Hilfe brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.


Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:

Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)

Warum ist diese Insel die größte?

Du siehst, auf allen drei Inseln lassen sich die gleichen Figuren legen, außer bei B. Bei B brauchst Du eine Figur mehr, das kleine graue Dreieck. Also hat B den größeren Flächeninhalt und ist somit die größere Insel. Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.



Ebert MotivatorHinweis.jpg
  • Figuren, die mit der gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren zerlegen.

Ebert Inseln.jpg
  • Da die Inseln A und C in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch zerlegungsgleich,



Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit


Ebert Zerlegungsgleiche Figuren.jpg
  • Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.'
  • Die Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, denn alle Teilfiguren kommen sowohl im Quadrat, als auch im Sechseck vor
  • Und da die Figuren die selben, also kongruent sind, haben sie den gleichen Flächeninhalt.


Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F1 bis F5 zusammen.


FQuadrat = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = FSechseck
Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!


Nils fasst hier Dein Ergebnis kurz zusammen. Übertrage es in Dein Heft:


Ebert MotivatorMerke.jpg
  • Den Flächeninhalt einer Figur erhält man, wenn man die einzelnen Flächeninhalte der Teilfiguren addiert
  • Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können


Maja hat noch etwas festgestellt:


Ebert MotivatorHinweis.jpg
  • Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen.

Ebert Zerlegungsgleiche Figuren.jpg

  • Der Flächeninhalt dieser beiden Figuren ändert sich dabei aber nicht.
  • Somit können wir feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,
    obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!


Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:


Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?


Ebert Halbkreisbilderneu.jpg


Bist Du sicher,dass Du den Hinweis brauchst?
Hier findest du den Hinweis


Ebert Motivatoren.jpg


Hier geht es weiter zur nächsten Station:
Zusammenfassung zur Zerlegungsgleichheit