Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

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==Station 3==
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'''Inhaltsverzeichnis:''' &nbsp;&nbsp;  [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  &nbsp;-  &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]] &nbsp;- &nbsp;<br>
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]]&nbsp;- &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]   
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=3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren=
  
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Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst.
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Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!
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( I ) y + 3x = 4  und ( II ) 3y = 6x + 3
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=Aufgabe 1=
  
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Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst. Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.
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'''Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst.'''
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'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!'''
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'''( I )&nbsp;&nbsp; y + 3x = 4  &nbsp;&nbsp;&nbsp;  und  &nbsp;&nbsp;&nbsp;  ( II ) &nbsp;&nbsp;3y = 6x + 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;    [[Bild:Motivation_Hatos_12.PNG|300px]]
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'''<div style="color:#CD661D  ">Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.'''<br>
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'''1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.</div>'''
  
 
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( I ) y + 3x = 4
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( I ) &nbsp;&nbsp;&nbsp; y + 3x = 4   |  - 3x<br>
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          y = '''-3x''' + 4  
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::y = '''-3x''' + 4  
  
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( II )    3y = 6x + 3  
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( II )&nbsp;&nbsp;&nbsp;   3y = 6x + 3   |  : 3<br>
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          y = '''2x''' + '''1'''  
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::y = '''2x''' + '''1'''  
  
  
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Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Varaiablen zu bekommen.
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<div style="color:#CD661D  ">2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.</div>
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::      '''-3x + 4''' = '''2x + 1'''
  
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      '''-3x + 4''' = '''2x + 1'''
 
 
   
 
   
 
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Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst
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'''<div style="color:#CD661D  ">Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst </div>'''
  
 
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Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des Linearen Gleichungssystems noch der y - Wert. Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen. Wir nehmen hier Gleichung ( I )
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'''<div style="color:#CD661D  ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''
  
 
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                                      y = -3x + 4
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Zuerst Gleichung ( I ):
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                                      y = -3 * '''0,6''' + 4
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                                      y = '''- 1,8''' + 4
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                                      y = '''2,2'''
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Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 1,8 | 2,2 ) auch die Lösung des Linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
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Wir nehmen hier die Gleichung ( II )
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| 2,2 + '''1,8'''  ||  = || 4
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| '''4'''  || = || 4
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                                      3y = 6x + 3
 
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                                        '''6,6''' = '''3,6''' + 3
 
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                                        6,6 = '''6,6'''
 
  
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Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = {( '''1,8''' | '''2,2''' )}
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Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )
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| 3y || = ||  6x  +  3
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| 3 * '''2,2'''  || = ||6 * '''0,6''' + 3
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| '''6,6'''  ||  = || '''3,6''' + 3
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Somit lautet die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems L = { ( '''0,6''' | '''2,2''' ) }
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=Aufgabe 2=
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Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen lLinearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.
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| y = 3x  &nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;  y = 2x + 1 || 3x = 2x + 1
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| 2x = 3y + 5  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp;    2x = y + 1 || 3y + 5 = y + 1
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| a = 2b + 3  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp;    a = 5b - 1 || 2b + 3 = 5b - 1
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| 3y = x - 4  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp;    3y = 2x - 7 || x - 4 = 2x - 7
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'''Lies dir den Merkekasten genau durch!'''
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'''Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
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'''1.Schritt:''' Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.
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'''2.Schritt:''' Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.
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'''3.Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
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'''4.Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.
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(I) y + 3x = 2 <br>
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und<br>
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(II) 2y = 4x – 2
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(I) y = -3x + 2<br>
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(II) y = 2x – 1
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(I) = (II)
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-3x + 2 = 2x – 1| - 2x<br>
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- 5x + 2 = - 1 | - 2<br>
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- 5x = - 3 | : (-5)<br>
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:    x = 0,6
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 +
 +
x in (II) y = 2 * 0,6 – 1<br>
 +
::            y = 1,2 – 1<br>
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::            y = 0,2
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 +
 +
 +
(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
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(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)
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L = { ( 0,6 |  0,2 )}
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</span>
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'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts weiter!]]</big>'''
  
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zu Station 4]]
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|Hier gehts zurück!]]

Aktuelle Version vom 18. März 2010, 15:11 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 1

Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst. Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!


( I )   y + 3x = 4     und     ( II )   3y = 6x + 3              Motivation Hatos 12.PNG


Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.
1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.


( I )     y + 3x = 4 | - 3x

y = -3x + 4

( II )    3y = 6x + 3 |  : 3

y = 2x + 1


2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.


-3x + 4 = 2x + 1


Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst


-3x + 4 = 2x + 1 / - 2x
     
-5x + 4 = 1 / - 4
     
     
x = 3/5  
     
x = 0,6  


Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des linearen Gleichungssystems noch der y - Wert.
3. Schritt: Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen.
Wir nehmen hier Gleichung ( I )
Motivation Hatos 13.PNG


y = -3x + 4
     
y = -3 * 0,6 + 4
     
y = - 1,8 + 4
     
y = 2,2


4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Zuerst Gleichung ( I ):

y + 3x = 4
     
2,2 + 3 * 0,6 = 4
     
2,2 + 1,8 = 4
     
4 = 4



Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )

3y = 6x + 3
     
3 * 2,2 = 6 * 0,6 + 3
     
6,6 = 3,6 + 3
     
6,6 = 6,6


Somit lautet die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems L = { ( 0,6 | 2,2 ) }


 



Motivation Hatos 14.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen lLinearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.

y = 3x    und    y = 2x + 1 3x = 2x + 1
2x = 3y + 5    und    2x = y + 1 3y + 5 = y + 1
a = 2b + 3    und    a = 5b - 1 2b + 3 = 5b - 1
3y = x - 4    und    3y = 2x - 7 x - 4 = 2x - 7

 



Lies dir den Merkekasten genau durch!


Hatos Merke.PNG
Das Gleichsetzungsverfahren!


Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1.Schritt: Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.



2.Schritt: Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.





3.Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.



4.Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.





Beispiel:

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2


(I) y = -3x + 2
(II) y = 2x – 1


(I) = (II)

-3x + 2 = 2x – 1| - 2x
- 5x + 2 = - 1 | - 2
- 5x = - 3 | : (-5)

x = 0,6


x in (II) y = 2 * 0,6 – 1

y = 1,2 – 1
y = 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = { ( 0,6 | 0,2 )}


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