Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

Aus DMUW-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(54 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
==Station 3==
+
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
'''Inhaltsverzeichnis:''' &nbsp;&nbsp;  [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  &nbsp;-  &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]] &nbsp;- &nbsp;<br>
 +
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]]&nbsp;- &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]   
 +
</div>
  
−
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
=3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren=
  
−
Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst.
+
<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!
+
  
−
( I ) y + 3x = 4  und ( II ) 3y = 6x + 3
+
=Aufgabe 1=
  
−
<div style="color:red">Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst. Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.</div>
+
'''Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst.'''
 +
'''Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!'''
 +
 
 +
 
 +
'''( I )&nbsp;&nbsp; y + 3x = 4  &nbsp;&nbsp;&nbsp;  und  &nbsp;&nbsp;&nbsp;  ( II ) &nbsp;&nbsp;3y = 6x + 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;    [[Bild:Motivation_Hatos_12.PNG|300px]]
 +
 
 +
 
 +
'''<div style="color:#CD661D  ">Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.'''<br>
 +
'''1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.</div>'''
  
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
  
  
−
( I ) y + 3x = 4
+
( I ) &nbsp;&nbsp;&nbsp; y + 3x = 4   |  - 3x<br>
−
          y = '''-3x''' + 4  
+
::y = '''-3x''' + 4  
  
−
( II )    3y = 6x + 3  
+
( II )&nbsp;&nbsp;&nbsp;   3y = 6x + 3   |  : 3<br>
−
          y = '''2x''' + '''1'''  
+
::y = '''2x''' + '''1'''  
  
  
−
Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Varaiablen zu bekommen.
+
<div style="color:#CD661D  ">2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.</div>
 +
 
 +
 
 +
::      '''-3x + 4''' = '''2x + 1'''
  
−
      '''-3x + 4''' = '''2x + 1'''
 
 
   
 
   
 
</div>
 
</div>
  
−
Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst
+
'''<div style="color:#CD661D  ">Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst </div>'''
  
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
  
−
                -3x + 4 = 2x + 1
 
  
−
                -3x - '''2x''' = 1 - 4
+
<center>
 +
{|
 +
|-
 +
| -3x + 4 || = || 2x + 1 || / - 2x
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| ''' -5x''' + 4|| = || 1|| / - 4
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
|-5x||  = || '''-3''' || / : ( - 5 )
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
|x || = || '''3/5'''||&nbsp;
 +
|-
 +
|&nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-                   
 +
|x || = || 0,6||&nbsp;
 +
|}
 +
</center>
  
−
                    '''-5x''' = -3
 
  
−
                      x = '''3/5'''
 
−
                     
 
−
                      x = 0,6
 
 
</div>
 
</div>
  
−
Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des Linearen Gleichungssystems noch der y - Wert. Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen. Wir nehmen hier Gleichung ( I )
+
{|
 +
|-
 +
|'''<div style="color:#CD661D  ">Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des linearen Gleichungssystems noch der y - Wert. <br> 3. Schritt: Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen. <br>Wir nehmen hier Gleichung ( I ) </div>'''  || [[Bild:Motivation_Hatos_13.PNG|300px]]
 +
|}
 +
<div class="lueckentext-quiz">
 +
 
 +
 
 +
<center>
 +
{|
 +
|-
 +
| y || = || -3x  +  4
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| y || = || -3 * '''0,6''' + 4
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| y ||  = || '''- 1,8''' + 4
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| y || = || '''2,2'''
 +
|}
 +
</center>
 +
 
 +
                 
 +
</div>
 +
'''<div style="color:#CD661D  ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''
  
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
  
−
                                      y = -3x + 4
+
Zuerst Gleichung ( I ):
−
                                      y = -3 * '''0,6''' + 4
+
−
                                      y = '''- 1,8''' + 4
+
−
                                      y = '''2,2'''
+
  
−
Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 1,8 | 2,2 ) auch die Lösung des Linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
+
<center>
−
Wir nehmen hier die Gleichung ( II )
+
{|
 +
|-
 +
| y  +  3x || = ||  4
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| '''2,2''' + 3 * '''0,6'''  || = || 4
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| 2,2 + '''1,8'''  ||  = || 4
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| '''4'''  || = || 4
 +
|}
 +
</center>
  
−
                                      3y = 6x + 3
 
−
                                      3 * '''2,2''' = 6 * '''1,8''' + 3
 
−
                                        '''6,6''' = '''3,6''' + 3
 
−
                                        6,6 = '''6,6'''
 
  
−
Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = {( '''1,8''' | '''2,2''' )}
+
</div>
  
 +
 +
 +
<div class="lueckentext-quiz">
 +
 +
Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )
 +
 +
<center>
 +
{|
 +
|-
 +
| 3y || = ||  6x  +  3
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| 3 * '''2,2'''  || = ||6 * '''0,6''' + 3
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| '''6,6'''  ||  = || '''3,6''' + 3
 +
|-
 +
| &nbsp;|| &nbsp;||&nbsp;
 +
|-
 +
| 6,6  || = || '''6,6'''
 +
|}
 +
</center>
 +
 +
 +
Somit lautet die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems L = { ( '''0,6''' | '''2,2''' ) }
 +
 +
 +
</div>                                   
 +
&nbsp;
 
</div>
 
</div>
−
                                     
+
<br>
 +
<br>
  
−
hhh
+
[[Bild:Motivation_Hatos_14.PNG]]
−
..
+
 
 +
 
 +
<div style="border: 2px solid #008B00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 +
 
 +
=Aufgabe 2=
 +
 
 +
<div class="zuordnungs-quiz">
 +
Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen lLinearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.
 +
{|
 +
|-
 +
| y = 3x  &nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;  y = 2x + 1 || 3x = 2x + 1
 +
|-
 +
| 2x = 3y + 5  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp;    2x = y + 1 || 3y + 5 = y + 1
 +
|-
 +
| a = 2b + 3  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp;    a = 5b - 1 || 2b + 3 = 5b - 1
 +
|-
 +
| 3y = x - 4  &nbsp;&nbsp;  und &nbsp;&nbsp;    3y = 2x - 7 || x - 4 = 2x - 7
 +
|}
 
</div>
 
</div>
 +
&nbsp;
 +
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
'''Lies dir den Merkekasten genau durch!'''
 +
 +
 +
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 +
 +
{|
 +
|-
 +
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Gleichsetzungsverfahren!</div>'''
 +
<br>
 +
'''Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
 +
<br>
 +
<br>
 +
'''1.Schritt:''' Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
'''2.Schritt:''' Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
'''3.Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
'''4.Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
||<span style="color: #00CD66" >Beispiel:
 +
 +
(I) y + 3x = 2 <br>
 +
und<br>
 +
(II) 2y = 4x – 2
 +
 +
 +
 +
(I) y = -3x + 2<br>
 +
(II) y = 2x – 1
 +
 +
 +
 +
(I) = (II)
 +
 +
-3x + 2 = 2x – 1| - 2x<br>
 +
- 5x + 2 = - 1 | - 2<br>
 +
- 5x = - 3 | : (-5)<br>
 +
:    x = 0,6
 +
 +
 +
x in (II) y = 2 * 0,6 – 1<br>
 +
::            y = 1,2 – 1<br>
 +
::            y = 0,2
 +
 +
 +
 +
(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
 +
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)
 +
 +
 +
 +
 +
L = { ( 0,6 |  0,2 )}
 +
</span>
 +
|}
 +
</div>
 +
 +
 +
'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts weiter!]]</big>'''
  
−
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zu Station 4]]
+
[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|Hier gehts zurück!]]

Aktuelle Version vom 18. März 2010, 15:11 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 1

Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst. Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!


( I )   y + 3x = 4     und     ( II )   3y = 6x + 3              Motivation Hatos 12.PNG


Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.
1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.


( I )     y + 3x = 4 | - 3x

y = -3x + 4

( II )    3y = 6x + 3 |  : 3

y = 2x + 1


2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.


-3x + 4 = 2x + 1


Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst


-3x + 4 = 2x + 1 / - 2x
     
-5x + 4 = 1 / - 4
     
     
x = 3/5  
     
x = 0,6  


Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des linearen Gleichungssystems noch der y - Wert.
3. Schritt: Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen.
Wir nehmen hier Gleichung ( I )
Motivation Hatos 13.PNG


y = -3x + 4
     
y = -3 * 0,6 + 4
     
y = - 1,8 + 4
     
y = 2,2


4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Zuerst Gleichung ( I ):

y + 3x = 4
     
2,2 + 3 * 0,6 = 4
     
2,2 + 1,8 = 4
     
4 = 4



Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )

3y = 6x + 3
     
3 * 2,2 = 6 * 0,6 + 3
     
6,6 = 3,6 + 3
     
6,6 = 6,6


Somit lautet die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems L = { ( 0,6 | 2,2 ) }


 



Motivation Hatos 14.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen lLinearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.

y = 3x    und    y = 2x + 1 3x = 2x + 1
2x = 3y + 5    und    2x = y + 1 3y + 5 = y + 1
a = 2b + 3    und    a = 5b - 1 2b + 3 = 5b - 1
3y = x - 4    und    3y = 2x - 7 x - 4 = 2x - 7

 



Lies dir den Merkekasten genau durch!


Hatos Merke.PNG
Das Gleichsetzungsverfahren!


Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1.Schritt: Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.



2.Schritt: Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.





3.Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.



4.Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.





Beispiel:

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2


(I) y = -3x + 2
(II) y = 2x – 1


(I) = (II)

-3x + 2 = 2x – 1| - 2x
- 5x + 2 = - 1 | - 2
- 5x = - 3 | : (-5)

x = 0,6


x in (II) y = 2 * 0,6 – 1

y = 1,2 – 1
y = 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = { ( 0,6 | 0,2 )}


→ Hier gehts weiter!

Hier gehts zurück!

Von „http://dmuw.zum.de/index.php?title=Lineare_Gleichungssysteme_rechnerisch_lösen/Station_3&oldid=17952“