Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
 
'''Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
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'''1.Schritt:''' Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.
 
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'''2.Schritt:''' Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.
 
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'''3.Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.
 
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'''4.Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.
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(I) y + 3x = 2 <br>
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(II) 2y = 4x – 2
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(I) y = -3x + 2<br>
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(II) y = 2x – 1
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(I) = (II)
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-3x + 2 = 2x – 1| - 2x<br>
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- 5x + 2 = - 1 | - 2<br>
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- 5x = - 3 | : (-5)<br>
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:    x = 0,6
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x in (II) y = 2 * 0,6 – 1<br>
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::            y = 1,2 – 1<br>
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::            y = 0,2
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(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
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(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)
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L = { ( 0,6 |  0,2 )}
  
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'''4.Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.
 
 
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Version vom 24. Januar 2010, 01:27 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    Station 1  -  Station 2  -  Station 3  -  Station 4  -  Station 5  -  Station 6 -  Station 7  -  Station 8

Station 3

Aufgabe 1

Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst. Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!


( I )   y + 3x = 4     und     ( II )   3y = 6x + 3              Motivation Hatos 12.PNG


Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.
1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.


( I )     y + 3x = 4 | - 3x

y =                     + 4

( II )    3y = 6x + 3 |  : 3

y =                     +                    


2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.


                    =                    


2x + 12x-3x1-3x + 4

Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst


-3x + 4 = 2x + 1 / - 2x
     
                    + 4 = 1 / - 4
     
     
x =                      
     
x = 0,6  


-5x3/5

Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des Linearen Gleichungssystems noch der y - Wert.
3. Schritt: Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen.
Wir nehmen hier Gleichung ( I )
Motivation Hatos 13.PNG


y = -3x + 4
     
y = -3 *                     + 4
     
y =                     + 4
     
y =                    


2,2- 1,80,6

4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des Linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Zuerst Gleichung ( I ):

y + 3x = 4
     
                    + 3 *                     = 4
     
2,2 +                     = 4
     
                    = 4


40,62,21,8


Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )

3y = 6x + 3
     
3 *                     = 6 *                     + 3
     
                    =                     + 3
     
6,6 =                    


Somit lautet die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems L = { (                     |                     ) }


2,26,60,60,63,66,62,2

 



Motivation Hatos 14.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen Linearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.

2x = 3y + 5   und    2x = y + 1

x - 4 = 2x - 7

2b + 3 = 5b - 1

y = 3x   und    y = 2x + 1

3y + 5 = y + 13x = 2x + 1a = 2b + 3   und    a = 5b - 13y = x - 4   und    3y = 2x - 7

 



Hatos Merke.PNG
Das Gleichsetzungsverfahren!


Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1.Schritt: Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.



2.Schritt: Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.





3.Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.



4.Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.





Beispiel:

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2


(I) y = -3x + 2
(II) y = 2x – 1


(I) = (II)

-3x + 2 = 2x – 1| - 2x
- 5x + 2 = - 1 | - 2
- 5x = - 3 | : (-5)

x = 0,6


x in (II) y = 2 * 0,6 – 1

y = 1,2 – 1
y = 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = { ( 0,6 | 0,2 )}


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