Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7: Unterschied zwischen den Versionen
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'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation oder Division so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt. | '''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation oder Division so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt. | ||
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'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.''' | '''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.''' | ||
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(I) y + 3x = 2 <br> | (I) y + 3x = 2 <br> | ||
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| − | (I)*(-2): - 2y - 6x = -4<br> | + | (I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br> |
(III) 2y = 4x – 2 | (III) 2y = 4x – 2 | ||
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(I) + (II):<br> | (I) + (II):<br> | ||
| − | -2y -6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x<br> | + | -2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br> |
- 6x = 4x - 6 | - 4x<br> | - 6x = 4x - 6 | - 4x<br> | ||
- 10x = - 6 | : (-10)<br> | - 10x = - 6 | : (-10)<br> | ||
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| − | x in (II) 2y = 4 * 0,6 – 2<br> | + | x in (II): 2y = 4 * 0,6 – 2<br> |
| − | : 2y = 2,4 – 2<br> | + | :: 2y = 2,4 – 2<br> |
| − | : 2y = 0,4 | : 2<br> | + | :: 2y = 0,4 | : 2<br> |
| − | : y = 0,2 | + | :: y = 0,2 |
Version vom 24. Januar 2010, 00:58 Uhr
Inhaltsverzeichnis: Station 1 - Station 2 - Station 3 - Station 4 - Station 5 - Station 6 - Station 7 - Station 8
Station 7
Aufgabe 1
Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.
( I ) 3x + 7y = - 30 und ( II ) - 5x - 7y = 22 
( I ) + ( II ) :
( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) | = | -30 + 22 | |
| 3x - 5x | = | -8 | |
| -2x | = | -8 | / : ( -2 ) |
| x | = | 4 |
| 3x + 7y | = | - 30 | |
| 3 * 4 + 7y | = | - 30 | |
| 12 + 7y | = | - 30 | / - 12 |
| 7y | = | - 42 | / : 7 |
| y | = | -6 |
Gleichung ( I ) :
| 3x + 7y | = | - 30 |
| 3 * 4 (x - Wert) + 7 * - 6 (y - Wert) | = | - 30 |
| 12 (ausmultipliziert) - 42 | = | - 30 |
| - 30 | = | - 30 |
Gleichung ( II ):
| -5x - 7y | = | 22 |
| -5 * 4 (x - Wert) - 7 * - 6 (y - Wert) | = | 22 |
| -20 + 42 (ausmultipliziert) | = | 22 |
| 22 | = | 22 |
Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( 4 (x - Wert)| -6 ) }
Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.
Beispiel: ( I ) 2x + 3y = 134 und ( II ) 3x + 5y = 221
Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2
( I ) 2x + 3y = 134 | * 3
( II ) 3x + 5y = 221 | * (-2)
dies ergibt ( I ) 6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442
Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
Aufgabe 2
Zuordnung
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
| ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) 2x + 6y = 6 | ( II ) * (-2) | ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) -4x - 12y = -12 |
| ( I ) 11x - 5y = -3 und ( II ) -9x + 4y = 2 | ( I ) * 4 und ( II ) * 5 | ( I ) 44x - 20y = -12 und ( II ) -45 x + 20y = 10 |
| ( I ) -5x + 6y = 41 und ( II ) 3x - 8y = -73 | ( I ) * 4 und ( II ) * 3 | ( I ) -20x + 24y = 164 und ( II ) 9x - 24y = -219 |
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Das Additionsverfahren!
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Beispiel:
(I) y + 3x = 2
(I) + (II): -2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x
(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
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