Volumen der Pyramide: Unterschied zwischen den Versionen
(→4.2 Die Volumenformel der Pyramide) |
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Version vom 16. Juli 2010, 21:04 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
4. Volumen der Pyramide
Um das Volumen der Pyramide und die dazu notwendige Formel verstehen zu können, widmen wir uns zunächst dem Prinzip von Cavalieri.
4.1 Prinzip von Cavalieri
Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper mit den gleichen Rauminhalt (= Volumen) besitzen, wenn folgendes erfüllt ist:
1. Ihre Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene E1.
2. Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene E2, die parallel zu E1 ist.
3. Jede Parallelebene En zu E1 schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen.
Analog bedeutet dies, dass zwei Pyramiden den gleichen Rauminhalt besitzen wenn...
1. ...die Pyramiden die gleiche Grundfläche besitzen und in derselben Ebene E1 liegen.
2. ...die Höhen jeweils gleich lang sind.
3. ...jede Parallelebene En zu E1 aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen schneidet.
Um dies besser verstehen zu können, sehen wir uns folgende Bilder an:
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| Diese zwei Körper haben offensichtlich dasselbe Volumen | Doch was ist, wenn eines der Körper "schief" steht? | Die Höhe, sowie Grund- und Deckfläche sind offensichtlich gleich, also betrachten wir die Schnittflächen, die durch die Parallelebene En enstehen | Wie man aus dieser Perspektive sehen kann, werden aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen herausgeschnitten |
Prinzip von Cavalieri an Pyramiden
Das folgende GeoGebra-Applet führt dies zum besseren Verständnis nocheinmal bildlich vor.
Bewege die drei Schieberegler, um die Höhe(n) oder die Breite der Grundfläche zu verändern.
Hierbei soll auch verdeutlicht werden:
- Schnittflächen in der Ebene En (hier: braune Ebene) müssen inhaltsgleich sein, nicht identisch
- Grundflächen der Pyramiden können unterschiedliche Form haben, wichtig ist nur die Fläche, also der Inhalt
4.2 Die Volumenformel der Pyramide
Bekanntlich lautet die Volumenformel für alle Prismen, sowie für den Zylinder "Grundfläche mal Höhe" also G x h.
In den folgenden Video wird euch vorgeführt, wie man die Volumenformel der Pyramide ganz leicht erschließen kann.
Video #1:
Video #2:
Im folgenden Geogebra-Applet wird dies nochmals schön verdeutlicht (Urheberrecht liegt bei www.realmath.de:
Verschiebe den Schieberegler, um das Prisma in drei volumengleiche Pyramiden zu zerlegen.
=> Das Volumen der Prismen errechnet sich mit der Formel "Grundfläche mal Höhe" (G * h)
=> Das Volumen der entsprechenden Pyramide beträgt jeweils ein Drittel und errechnet sich somit mit der Formel "Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe" (1/3 * G * h)
