Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.''' | '''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.''' | ||
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'''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation oder Division so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt. | '''1. Schritt:''' Forme die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation oder Division so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt. | ||
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'''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen. | '''2. Schritt:''' Addiere die beiden Gleichungen und berechne den Wert der einen Variablen. | ||
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(I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br> | (I) * (-2) : - 2y - 6x = -4<br> | ||
| − | (III) 2y = 4x – 2 | + | |
| + | (III) 2y = 4x – 2 | ||
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-2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br> | -2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x <br> | ||
| − | - 6x = 4x - 6 | - 4x<br> | + | ::- 6x = 4x - 6 | - 4x<br> |
| − | - 10x = - 6 | : (-10)<br> | + | ::- 10x = - 6 | : (-10)<br> |
| − | : x = 0,6 | + | ::: x = 0,6 |
| − | x in (II): | + | x in (II): <br> |
| + | : 2y = 4 * 0,6 – 2<br> | ||
:: 2y = 2,4 – 2<br> | :: 2y = 2,4 – 2<br> | ||
:: 2y = 0,4 | : 2<br> | :: 2y = 0,4 | : 2<br> | ||
Version vom 24. Januar 2010, 01:05 Uhr
Inhaltsverzeichnis: Station 1 - Station 2 - Station 3 - Station 4 - Station 5 - Station 6 - Station 7 - Station 8
Station 7
Aufgabe 1
Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.
( I ) 3x + 7y = - 30 und ( II ) - 5x - 7y = 22 
( I ) + ( II ) :
( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) | = | -30 + 22 | |
| 3x - 5x | = | -8 | |
| -2x | = | -8 | / : ( -2 ) |
| x | = | 4 |
| 3x + 7y | = | - 30 | |
| 3 * 4 + 7y | = | - 30 | |
| 12 + 7y | = | - 30 | / - 12 |
| 7y | = | - 42 | / : 7 |
| y | = | -6 |
Gleichung ( I ) :
| 3x + 7y | = | - 30 |
| 3 * 4 (x - Wert) + 7 * - 6 (y - Wert) | = | - 30 |
| 12 (ausmultipliziert) - 42 | = | - 30 |
| - 30 | = | - 30 |
Gleichung ( II ):
| -5x - 7y | = | 22 |
| -5 * 4 (x - Wert) - 7 * - 6 (y - Wert) | = | 22 |
| -20 + 42 (ausmultipliziert) | = | 22 |
| 22 | = | 22 |
Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( 4 (x - Wert)| -6 ) }
Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.
Beispiel: ( I ) 2x + 3y = 134 und ( II ) 3x + 5y = 221
Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2
( I ) 2x + 3y = 134 | * 3
( II ) 3x + 5y = 221 | * (-2)
dies ergibt ( I ) 6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442
Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
Aufgabe 2
Zuordnung
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
| ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) 2x + 6y = 6 | ( II ) * (-2) | ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) -4x - 12y = -12 |
| ( I ) 11x - 5y = -3 und ( II ) -9x + 4y = 2 | ( I ) * 4 und ( II ) * 5 | ( I ) 44x - 20y = -12 und ( II ) -45 x + 20y = 10 |
| ( I ) -5x + 6y = 41 und ( II ) 3x - 8y = -73 | ( I ) * 4 und ( II ) * 3 | ( I ) -20x + 24y = 164 und ( II ) 9x - 24y = -219 |
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Das Additionsverfahren!
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Beispiel:
(I) y + 3x = 2
(III) 2y = 4x – 2
(I) + (II): -2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x
(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
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