Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7: Unterschied zwischen den Versionen
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Beispiel: '''( I ) 2x + 3y = 134 und ( II ) 3x + 5y = 221''' | Beispiel: '''( I ) 2x + 3y = 134 und ( II ) 3x + 5y = 221''' | ||
Version vom 18. März 2010, 14:57 Uhr
Inhaltsverzeichnis: 1. Einstieg - 2. Gleichsetzungsverfahren - 3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren - 4. Einsetzungsverfahren -
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren - 6. Additionsverfahren - 7. Übungen zum Additionsverfahren - 8. Lösen der Einstiegsaufgabe
7. Übungen zum Additionsverfahren
Aufgabe 1
Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.
( I ) 3x + 7y = - 30 und ( II ) - 5x - 7y = 22 
( I ) + ( II ) :
( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) | = | -30 + 22 | |
| 3x - 5x | = | -8 | |
| -2x | = | -8 | / : ( -2 ) |
| x | = | 4 |
| 3x + 7y | = | - 30 | |
| 3 * 4 + 7y | = | - 30 | |
| 12 + 7y | = | - 30 | / - 12 |
| 7y | = | - 42 | / : 7 |
| y | = | -6 |
Gleichung ( I ) :
| 3x + 7y | = | - 30 |
| 3 * 4 (x - Wert) + 7 * - 6 (y - Wert) | = | - 30 |
| 12 (ausmultipliziert) - 42 | = | - 30 |
| - 30 | = | - 30 |
Gleichung ( II ):
| -5x - 7y | = | 22 |
| -5 * 4 (x - Wert) - 7 * - 6 (y - Wert) | = | 22 |
| -20 + 42 (ausmultipliziert) | = | 22 |
| 22 | = | 22 |
Somit lautet die Lösung des linearen Gleichungssystems L = { ( 4 (x - Wert)| -6 ) }
Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.
Beispiel: ( I ) 2x + 3y = 134 und ( II ) 3x + 5y = 221
Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2
( I ) 2x + 3y = 134 | * 3
( II ) 3x + 5y = 221 | * (-2)
dies ergibt ( I ) 6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442
Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
Du siehst also, dass entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen muss!!
Aufgabe 2
Zuordnung
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
| ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) 2x + 6y = 6 | ( II ) * (-2) | ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) -4x - 12y = -12 |
| ( I ) 11x - 5y = -3 und ( II ) -9x + 4y = 2 | ( I ) * 4 und ( II ) * 5 | ( I ) 44x - 20y = -12 und ( II ) -45 x + 20y = 10 |
| ( I ) -5x + 6y = 41 und ( II ) 3x - 8y = -73 | ( I ) * 4 und ( II ) * 3 | ( I ) -20x + 24y = 164 und ( II ) 9x - 24y = -219 |
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Das Additionsverfahren!
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Beispiel:
(I) y + 3x = 2
(III) 2y = 4x – 2
(I) + (II): -2y - 6x + 2y = -4 + 4x – 2| - 2x
(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
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