Berechnungen in Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

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*[[Exponential- & Logarithmusfunktion]]
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*[[Trigonometrie]]
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**[[Trigonometrische Funktionen]]
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**[[Berechnungen in Dreiecken]]
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**[[Skalarprodukt]]
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**[[Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]]
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*[[Abbildungen im Koordinatensystem]]
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Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert)).   
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Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)).   
 
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Die gleichschenkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichung <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>.
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Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichung <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>.
 
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|Berechne den Winkel <math>\quad ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>.
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|Berechne den Winkel <math>\quad \angle ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>, <math>\quad x_{M2}=3</math>.
 
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*D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln   
 
*D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln   
 
*<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln   
 
*<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln   
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*Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden   
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*Kosinussatz im Dreieck <math>AM_2D \quad</math> anwenden   
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*Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM<sub>2</sub>A mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.
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*Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel <math>\quad \angle DM_2A</math> mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.
 
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'''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 71.57 _7}° (2 Nachkommastellen)  
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|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des  
 
|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des  
 
Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
 
Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
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Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst, die Punkte C<sub>n</sub> zeichnen den Trägergraphen.
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Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte C<sub>n</sub> den Trägergraphen.
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Verfahren zur Trägergraphermittlung wird in der Präsentation erklärt!
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|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=85x^2-24x+36)</math>FE
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|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=(5x^2-24x+36)</math>FE
 
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|<popup name="Tipp">   
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Suche einfache, flächengleiche Figuren!
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*36FE in <math>A(x) \quad</math> einsetzen.
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*Allgemeine Lösungsformel benutzen!
 
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|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
 
|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
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*Suche einfache, flächengleiche Figuren!
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*Verwende den Punkt M<sub>n</sub>!
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'''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8.4 _3}|{ 1.2 _3} (1 Nachkommastelle)
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'''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} (ganze Zahlen) und C<sub>4</sub>{ 8.4 _3}|{ 1.2 _3} (1 Nachkommastelle)
 
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|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
 
|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
 
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
 
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
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C<sub>5</sub> liegt auf dem Trägergraphen und der Geraden g!
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|<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="570" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Pyramide.ggb"/>
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|<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="570" width="700" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Pyramidegut.ggb"/>
 
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|Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>.
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|Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon \quad</math>.
 
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|<popup name="Tipp 1">  
 
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Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt.
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Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt.
 
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|[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']]
 
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|<popup name="Tipp 2">   
 
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Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup>
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* Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)
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* Skizziere diese Teildreicke auf ein Konzeptpapier und trage bekannte Seiten und Winkel ein, um den Überblick zu behalten!</popup>
 
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|Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich land sind.
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|Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich lang sind.
 
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<div  style="background:#FFD700;text-align:center;color: #fff;font-weight:bold;font-size:125%;margin: 10px 5px 0px 0; padding: 4px 4px 4px 14px;">Trigonometrie</div>
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
 
<div style="margin: 0 5px 5px 0; padding: 1em 1em 1em 1em; text-align:center; border: 1px solid :#FFD700; background-color:#f6fcfe;">
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[[LERNPFAD]] &#124; [[Trigonometrie]] &#124; [[Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[Skalarprodukt]] &#124; [[Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div><noinclude>
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[[../../|LERNPFAD]] &#124; [[../../Trigonometrie|Trigonometrie]] &#124; [[../Trigonometrische Funktionen|Trigonometrische Funktionen]] &#124;  [[../Berechnungen in Dreiecken|Berechnungen in Dreiecken]] &#124; [[../Skalarprodukt|Skalarprodukt]] &#124; [[../Exkurs Geometrie|Exkurs: Wichtiges zur Geometrie]] </div>

Aktuelle Version vom 15. Oktober 2011, 12:51 Uhr

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Lernpfad-Navigator

LERNPFAD

Trigonometrie

Arbeitsauftrag

Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an

  • rechtwinkligen Dreiecken
  • und allgemeinen Dreiecken.

Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen!

{{#slideshare:dreiecke-100817025839-phpapp02}}

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Pdf20.gif Berechnungen in Dreiecken
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Aufgaben

Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.

Aufgabe 1 Peter Fischer Papier.png

Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)).

Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke AB_nC_n \quad bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt \quad A(0|0). Auf der Geraden g mit der Gleichung \quad y=-2x+6 liegen die Mittelpunkte \quad M_n(x|-2x+6) der Hyptenusen \quad[AB_n].

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung
Berechne den Winkel \quad \angle ADM_2, wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten \quad C_2(3|3), \quad x_{M2}=3.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \quad \angle ADM_2=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als \quad C_n(3x-6|-x+6). Ermittle die Gleichung des

Trägergraphen h der Punkte Cn. Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte Cn den Trägergraphen.

Mori hat einen Tipp für dich

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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke \quad AB_nC in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: \quad A(x)=(5x^2-24x+36)FE
Mori hat einen Tipp für dich

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Die Dreiecke \quad AB_3C_3 und \quad AB_4C_4 haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: C3| (ganze Zahlen) und C4| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0


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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt.

Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: C5| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0


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Aufgabe 2 Peter Fischer Papier.png

Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).

Das Quadrat ABCD mit \overline{AB}=6cm ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß \gamma = 50^\circ. Der Punkt liegt auf der Kante \quad[AS] mit \overline{AQ}=6cm. Die Punkte \quad R_n liegenauf der Kante \quad [CS], wobei die Winkel \quad R_nQS das Maß \quad \epsilon mit \quad \epsilon > 0^\circ haben.

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung


Berechnen sie das größmögliche Maß \epsilon \quad.
Mori hat einen Tipp für dich
Mori hat einen Tipp für dich

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge \quad \overline{QR_n} in Abhängigkeit von \quad \epsilon gilt:

\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm. [Teilergebnis: \quad \overline{AS}=10,11cm]

Mori hat einen Tipp für dich

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Berechnen Sie das Winkelmaß \quad \epsilon so, dass die Strecke \quad [QR_1] und \quad [QS] gleich lang sind.

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0


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Trigonometrie
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