Eigenschaften der zentrischen Streckung: Unterschied zwischen den Versionen

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===Eigenschaften der zentrischen Streckung===
 
===Eigenschaften der zentrischen Streckung===
 
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<br>[[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|right]]
 
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[[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|center]]
 
 
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:'''In diesem Lernpfad durchläufst du 7 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:'''<br>
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:1. Station: Fixelemente<br>
 +
:[[/2.Station|2. Station: Geradentreue und Parallelentreue]]<br>
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:[[/3.Station|3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue]]<br>
 +
:[[/4.Station|4. Station: Längenverhältnistreue]]<br>
 +
:[[/5.Station|5. Station: Kreistreue]]<br>
 +
:[[/6.Station|6. Station: Zusammenfassung]]<br>
 +
:[[/7.Station|7. Station: Übung]] <br>
 +
  
−
==1. Station: Fixelemente==
 
−
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
:Für k<math>\not=</math>1 gilt:
 
−
:Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
−
:'''Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.'''
 
 
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[[Bild:Porzelt_Fixgerade.jpg]]
 
 
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−
:Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
 
−
:{{Lösung versteckt|1=
 
−
:f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.}}
 
−
:Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
 
−
:{{Versteckt|1=
 
−
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
:Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
 
−
:Streckung auf sich selbst abgebildet.
 
−
</div>
 
−
}}
 
 
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−
==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue==
 
−
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
*'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
 
−
*'''Parallelentreue'''  liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
−
:Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
 
−
:auf den Punkt P' abgebildet.
 
−
 
−
:'''Arbeitsauftrag'''
 
−
:'''Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.'''
 
−
:'''Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.'''
 
 
<br>
 
<br>
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|
 
−
|<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />||
 
−
<quiz display="simple">
 
−
 
−
{'''Was zeigen die roten Spuren, die du gezeichnet hast?'''}
 
−
+Geraden
 
−
-Dreiecke
 
−
-Ich sehe keine Spuren.
 
−
 
−
{'''Ist die zentrische Streckung geradentreu?'''}
 
−
+Ja
 
−
-Nein
 
−
 
−
</quiz>
 
−
|}
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
−
:Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit
 
−
:|k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.
 
−
 
−
:'''Arbeitsauftrag:'''
 
−
:'''Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und <span style="text-decoration: overline;">AB</span>  = <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span>  eingezeichnet.'''
 
−
:'''Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span>  = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> '''
 
 
<br>
 
<br>
−
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|
 
−
|<ggb_applet height="260" width="550" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Parallelentreue.ggb" />||'''Setze in die Lücken richtig ein:'''
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
Das Viereck ZA'B'P' ist ein '''Parallelogramm'''. <br>
 
−
Mit <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = '''<span style="text-decoration: overline;">A'B'</span>''' und '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''' = <span style="text-decoration: overline;">AB</span>. Daraus folgt durch einsetzen in die Gleichung zur in Schritt 2: <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> = '''|k|''' ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>'''
 
−
|}
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
−
<div class="multiplechoice-quiz">
 
−
'''Ist die zentrische Streckung parallelentreu?'''
 
−
(Ja) (!Nein)
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
−
 
+
==1. Station: Fixelemente==
−
==3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue==
+
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
*'''Winkeltreue''' bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
+
[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]] <br>Für k<math>\not=</math>1 gilt:
−
*Ebenso gilt für die '''Längentreue''', dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
+
:Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.  
−
*'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
+
 
</div>
 
</div>
 
<br>
 
<br>
−
:In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
+
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
:die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.
+
{|
−
 
+
|'''''Strecke die Gerade g, die Punkte A, B und C zentrisch um den Faktor k und ordne im nebenstehenden Text den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:'''''<br><ggb_applet height="300" width="600" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Fixgerade.ggb" />||
−
:'''Arbeitsauftrag:'''
+
&nbsp;
−
:'''Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.'''
+
−
<br>
+
−
<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" />
+
−
<br>
+
−
<div class="multiplechoice-quiz">
+
−
'''Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu?'''
+
−
(Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue)
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
:Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?
+
−
:Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
+
−
{|
+
−
|[[Bild:Porzelt_Dreiecke.jpg‎ ]]||
+
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
−
A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
+
Der Punkt A wird auf den Punkt '''A'''' abgebildet, so wie der Punkt B auf Punkt '''B'''' und Punkt C auf Punkt '''C''''. Alle Punkte verlaufen auf einer '''Geraden'''. Die Gerade g wird auf die Gerade '''g'''' abgebildet.<br> Geometrisch bedeutet dies: g '''=''' g'.
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br>
+
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' ∙ '''|k|''' ∙ '''h''' <br>
+
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
+
−
A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>'''
+
 
</div>
 
</div>
 
|}
 
|}
−
<br>
 
−
 
−
==4. Station: Längenverhältnistreue==
 
−
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
:'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
 
 
</div>
 
</div>
 
<br>
 
<br>
−
{|
 
−
|[[Bild:Porzelt_Verhältnistreu.jpg]]|| '''Arbeitsauftrag:'''
 
−
#Berechne den Streckungsfaktor k.
 
−
#Berechne <span style="text-decoration: overline;">A'P'</span> und <span style="text-decoration: overline;">P'B'</span>.
 
−
#Berechne <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> und <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>. Runde auf 2 Nachkommastellen.
 
−
|}
 
 
<br>
 
<br>
−
:Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an:
 
−
<quiz display="simple">
 
−
 
−
{'''Der Streckungsfaktor k beträgt:'''}
 
−
+2.0
 
−
-1.5
 
−
-3.0
 
−
 
−
{'''<span style="text-decoration: overline;">A'P'</span> beträgt:'''}
 
−
+1.4 cm
 
−
-1.5 cm
 
−
-1.3 cm
 
−
 
−
{'''<span style="text-decoration: overline;">P'B'</span> beträgt:'''}
 
−
+3.0 cm
 
−
-2.0 cm
 
−
-2.5 cm
 
−
 
−
{'''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> beträgt:'''}
 
−
+0.47
 
−
-0.50
 
−
-1.00
 
−
 
−
{'''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> beträgt:'''}
 
−
+0.47
 
−
-0.52
 
−
-0.45
 
−
 
−
</quiz>
 
 
<br>
 
<br>
−
 
+
Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:<br>
−
:Warum ist <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>?
+
{{Versteckt|1=
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
Für  <math>\overline{AP}</math> kann man auch '''|k| ∙ <math>\overline{A'P'}</math>''' und für <math>\overline{PB}</math> kann man '''|k| ∙ <math>\overline{P'B'}</math>''' einsetzen. <br>
+
−
Daraus folgt: <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = '''<math>{{|k|}\over{|k|}}</math>''' ∙ '''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>'''.
+
−
|k| kann man rauskürzen, so dass '''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math>''' = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> gilt.
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
 
+
−
<div class="multiplechoice-quiz">
+
−
'''Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu?'''
+
−
(Ja) (!Nein)
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
 
+
−
==5. Station: Kreistreue==
+
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
:'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
+
[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]] <br>Alle Geraden, die durch den Punkt Z verlaufen, sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
−
</div>
+
:Streckung auf sich selbst abgebildet.
 
<br>
 
<br>
−
:Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus,
 
−
:ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
 
−
<ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" />
 
−
<br>
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
Es gilt: <math>\overline{PM}</math> = r <br>
 
−
Deshalb kann man schreiben: <math>\overline{P'M'}</math> = '''|m|''' ∙ '''<math>\overline{PM}</math>''' = r' <br>
 
−
Der Bildpunkt P' liegt auf einem '''Kreis k'''' um M' mit Radius r' = |m| ∙ '''r'''.
 
 
</div>
 
</div>
 +
}}
 
<br>
 
<br>
−
 
+
<div align="left">[[/2.Station|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur 2. Station: Geradentreue und Parallelentreue]]</div>
−
<div class="multiplechoice-quiz">
+
−
'''Ist die zentrische Streckung kreistreu?'''
+
−
(Ja) (!Nein)
+
−
</div>
+
−
<br>
+
−
 
+
−
==6. Station: Zusammenfassung==
+
−
:Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
+
−
<div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
−
'''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br>
+
−
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br>
+
−
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br>
+
−
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br>
+
−
Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br>
+
−
Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br>
+
−
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br>
+
−
Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu.
+
−
</div>
+
−
 
+
−
==7. Station: Übung==
+
−
{|
+
−
|[[Bild:Porzelt_Konstruktion_Dreieck.jpg]]||Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren:<br>
+
−
Zeichne ein Koordinatensystem (0 <math>\le</math> x <math>\le</math> 14;-3 <math>\le</math> y <math>\le</math> 6) mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft. <br>
+
−
(Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.)<br>
+
−
#Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab.<br>
+
−
#Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'.<br>
+
−
#Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst.
+
−
|}
+
−
 
+
−
:Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
+
−
:{{Lösung versteckt|
+
−
[[Bild:Porzelt_Konstruktion.jpg]]}}
+

Aktuelle Version vom 19. Dezember 2009, 16:57 Uhr


Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Eigenschaften der zentrischen Streckung


Porzelt Eigenschaften.jpg




In diesem Lernpfad durchläufst du 7 Stationen. Sie sind wie folgt gegliedert:
1. Station: Fixelemente
2. Station: Geradentreue und Parallelentreue
3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue
4. Station: Längenverhältnistreue
5. Station: Kreistreue
6. Station: Zusammenfassung
7. Station: Übung












1. Station: Fixelemente

Porzelt Panto-2.jpg

Für k\not=1 gilt:
Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.


Strecke die Gerade g, die Punkte A, B und C zentrisch um den Faktor k und ordne im nebenstehenden Text den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:

 

Der Punkt A wird auf den Punkt A' abgebildet, so wie der Punkt B auf Punkt B' und Punkt C auf Punkt C'. Alle Punkte verlaufen auf einer Geraden. Die Gerade g wird auf die Gerade g' abgebildet.
Geometrisch bedeutet dies: g = g'.




Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:

Porzelt Panto-2.jpg

Alle Geraden, die durch den Punkt Z verlaufen, sind Fixgeraden. Sie werden bei einer zentrischen
Streckung auf sich selbst abgebildet.



\Rightarrow Weiter zur 2. Station: Geradentreue und Parallelentreue
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