Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Inhaltsverzeichnis:''' &nbsp;&nbsp;  [[Benutzer:Sarah Hatos/Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen|1. Einstieg]]  &nbsp;-  &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 2|2. Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3|3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|4. Einsetzungsverfahren]] &nbsp;- &nbsp;<br>
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 5|5. Übungen zum Einsetzungsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|6. Additionsverfahren]]&nbsp;- &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7|7. Übungen zum Additionsverfahren]]&nbsp; - &nbsp;[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 8|8. Lösen der Einstiegsaufgabe]]     
 
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'''Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!'''  
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'''<div style="color:#CD661D  ">Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf! &nbsp; Wir nehmen hier die Gleichung ( II )</div>'''
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'''<div style="color:#CD661D  ">Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir 2x + 7 für y in die Gleichung ( I ) einsetzen.</div>'''
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'''<div style="color:#CD661D  ">2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).</div>'''
  
 
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'''<div style="color:#CD661D  ">Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.&nbsp;  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''
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'''<div style="color:#CD661D  ">3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.&nbsp;  Nimm hier Gleichung ( I ).</div>'''
  
 
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'''<div style="color:#CD661D  ">Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines Linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''
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'''<div style="color:#CD661D  ">4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.</div>'''
  
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'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines Linearen Gleichungssystems an.'''
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'''Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems an.'''
  
 
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L = { ( '''3 ( x - Koordinate )''' / -1 }
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'''Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen Linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''
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'''Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.'''
  
 
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| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
 
| ( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 || 5x + 3 * (2x + 10) = -3
 
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| ( I ) 19x + 4y = 18 und ( II ) y = -3x + 11 || 19x + 4 * (-3x + 11) = 18
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| ( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 || 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
 
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| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
 
| ( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 || 15 * (5y + 7) + 13y = 17
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|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
 
|[[Bild:Hatos_Merke.PNG|250px]] || '''<div style="color:#0000CD ">Das Einsetzungsverfahren!</div>'''
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'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
 
'''Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.'''
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'''1. Schritt:''' Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.  
 
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'''2. Schritt:''' Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.
 
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'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
 
'''3. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.'''
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'''4. Schritt:''' Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.
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(I) y + 3x = 2 <br>
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und <br>
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(II) 2y = 4x – 2
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(I) y = -3x + 2<br>
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(II) 2y = 4x – 2
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(I) in (II)
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2 * ( - 3x + 2)  = 4x – 2<br>
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- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x<br>
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- 10x  + 4 = - 2 | - 4<br>
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:  - 10x = - 6 | : (-10)<br>
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::        x = 0,6
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 +
 +
x in ( I )  y = - 3 * 0,6 + 2<br>
 +
::            y = - 1,8 + 2<br>
 +
::            y=  0,2
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(I)  0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)<br>
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(II)  2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)
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'''4. Schritt:''' Mache die Probe und gib die Lösungsmenge an.
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L = { ( 0,6 |  0,2 )}
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'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts zu Station 6]]</big>'''
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'''<big>→ [[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6|Hier gehts weiter!]]</big>'''
  
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück zur Station 4]]
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[[Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 4|Hier gehts zurück]]

Aktuelle Version vom 18. März 2010, 16:12 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

5. Übungen zum Einsetzungsverfahren

Aufgabe 1

Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen!


( I )  x - 3y = 6     und    ( II )  y + 7 = 2x                   Motivation Hatos 16.PNG


1. Schritt: Löse eine deiner beiden Gleichungen nach y auf!   Wir nehmen hier die Gleichung ( II )

( II )   y + 7 = 2x

y = 2x - 7


2. Schritt: Wir wenden nun das Einsetzungsverfahren an, indem wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten, also 2x - 7 für y in die Gleichung ( I ).


x - 3 * ( 2x - 7 ) = 6
     
x - 6x + 21 (Zahl eingeben) = 6
     
-5x + 21 = 6 / - 21
     
-5x = - 15 / : (- 5)
     
x = 3 (Zahl eingeben)



3. Schritt: Berechne nun den y - Wert, indem du x in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.  Nimm hier Gleichung ( I ).


x - 3y = 6
     
3 - 3y = 6 / - 3
     
-3y = 3 / : ( - 3 )
     
y = - 1


4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dies auch die Lösung deines linearen Gleichungssystems ist, mache die Probe, indem du x und y in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Wenn du die Probe gemacht hast, dann gib die Lösungsmenge deines linearen Gleichungssystems an.

L = { ( 3 ( x - Wert ) / -1 }

 


Motivation Hatos 17.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Einsetzungsverfahren angewandt. Ordne nun dem jeweiligen linearen Gleichungssytem die zugehörige Gleichung zu.

( I ) 5x + 3y = -3 und ( II ) y = 2x + 10 5x + 3 * (2x + 10) = -3
( I ) 4x + 19y = 18 und ( II ) x = -3y + 11 4 * (-3y + 11) + 19y = 18
( I ) x = 5y + 7 und ( II ) 15x + 13y = 17 15 * (5y + 7) + 13y = 17

 


Lies dir den Merkekasten genau durch!


Hatos Merke.PNG
Das Einsetzungsverfahren!


Beim Einsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1. Schritt: Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.



2. Schritt: Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen.





3. Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.



4. Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib die Lösungsmenge an.




Beispiel:

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2


(I) y = -3x + 2
(II) 2y = 4x – 2


(I) in (II)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2
- 6x + 4 = 4x - 2 | - 4x
- 10x + 4 = - 2 | - 4

- 10x = - 6 | : (-10)
x = 0,6


x in ( I ) y = - 3 * 0,6 + 2

y = - 1,8 + 2
y= 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)

(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = { ( 0,6 | 0,2 )}


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