Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine | + | Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt. |
| − | Beispiel: '''(I) 2x + 3y = 134 und (II) 3x + 5y = 221''' | + | Beispiel: '''( I ) 2x + 3y = 134 und ( II ) 3x + 5y = 221''' |
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| − | (I) 2x + 3y = 134 | * 3 | + | ( I ) 2x + 3y = 134 | * 3 |
| − | (II) 3x + 5y = 221 | * (-2) | + | ( II ) 3x + 5y = 221 | * (-2) |
| − | dies ergibt (I) 6x + 9y = 402 | + | dies ergibt ( I ) 6x + 9y = 402 |
| − | (II) -6x - 10y = -442 | + | ( II ) -6x - 10y = -442 |
| − | + | Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen! | |
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'''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.''' | '''Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.''' | ||
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| − | ''' | + | '''2. Schritt:''' Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.''' |
| − | ''' | + | '''3. Schritt:''' Mache die Probe und gib die Lösungsmenge an. |
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Version vom 16. Januar 2010, 21:10 Uhr
Station 7
Aufgabe 1
Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.
( I ) 3x + 7y = - 30 und ( II ) - 5x - 7y = 22 
( I ) + ( II ) :
( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) | = | -30 + 22 | |
| 3x - 5x | = | -8 | |
| -2x | = | -8 | / : ( -2 ) |
| x | = | 4 |
| 3x + 7y | = | - 30 | |
| 3 * 4 + 7y | = | - 30 | |
| 12 + 7y | = | - 30 | / - 12 |
| 7y | = | - 42 | / : 7 |
| y | = | -6 |
Gleichung ( I ) :
| 3x + 7y | = | - 30 |
| 3 * 4 (x - Wert) + 7 * - 6 (y - Wert) | = | - 30 |
| 12 (ausmultipliziert) - 42 | = | - 30 |
| - 30 | = | - 30 |
Gleichung ( II ):
| -5x - 7y | = | 22 |
| -5 * 4 (x - Wert) - 7 * - 6 (y - Wert) | = | 22 |
| -20 + 42 (ausmultipliziert) | = | 22 |
| 22 | = | 22 |
Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( 4 (x - Wert)| -6 ) }
Aufgabe 2
Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Variable wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.
Beispiel: ( I ) 2x + 3y = 134 und ( II ) 3x + 5y = 221
Wir multiplizieren die Gleichung ( I ) mit 3 und die Gleichung ( II ) mit -2
( I ) 2x + 3y = 134 | * 3
( II ) 3x + 5y = 221 | * (-2)
dies ergibt ( I ) 6x + 9y = 402
( II ) -6x - 10y = -442
Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Variable x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
Zuordnung
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
| ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) 2x + 6y = 6 | ( II ) * (-2) | ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) -4x - 12y = -12 |
| ( I ) 11x - 5y = -3 und ( II ) -9x + 4y = 2 | ( I ) * 4 und ( II ) * 5 | ( I ) 44x - 20y = -12 und ( II ) -45 x + 20y = 10 |
| ( I ) -5x + 6y = 41 und ( II ) 3x - 8y = -73 | ( I ) * 4 und ( II ) * 3 | ( I ) -20x + 24y = 164 und ( II ) 9x - 24y = -219 |
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Das Additionsverfahren!
Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen. 1. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen mit dem Ziel, dass eine Variable wegfällt. Um dies zu erreichen kannst du die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation oder Division so umformen, dass durch Addition eine Variable herausfällt. 2. Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt. 3. Schritt: Mache die Probe und gib die Lösungsmenge an. |
