übungen zur Scheitelpunktform

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Vom Graphen zur Funktion

Aufgabe 17

Bei all diesen Funktionsgraphen hat a wieder den Wert 1.
Ordne den Graphen die richtige Funktion zu. Tipp: Denke daran, dass die Form y=a(x - x_s)²+y_s lautet, das bedeutet, wenn vor x_s in der Klammer ein Minus steht, so ist x_s größer als Null. Steht vor x_s in der Klammer ein Plus, so ist x_s kleiner als Null.

y$=$ [x-2]2 -2	y$=$ [x-3]2 +1	y$=$ [x + 1]2 -4	y$=$ [x+1]2 +2

Bestimmen der Scheitelpunktsform mit a

Doch wie schaut das aus, wenn der Parameter a nicht eins ist? Wie kriegst du den heraus? Auch das ist ganz einfach. Dafür brauchst du den Scheitel, um x_s und y_s ablesen zu können, und einen zweiten Punkt. Ich verdeutliche dir dies an einem Beispiel.

Bei der Parabel rechts hat der Scheitel S die Koordinaten (-1/3). Außerdem ist der Punkt P, der auf der Parabel liegt, gegeben. P hat die Koordinaten (-2/1). Nun soll die Funktion der Parabel gefunden werden. Dafür setze ich zuerst die Koordinaten von S in die Scheitelpunktsform ein. Man erhält: y= a(x - (-1))2 +3 Um nun a auszurechnen, setze ich jetzt noch die Koordinaten des Punkts P in die Gleichung ein, also die x-Koordinate für x und die y-Koordinate für y. Ich erhalte also 1= a(-2 - (-1))2 +3 und durch Rechnen 1= 1a +3 Jetzt muss nur noch nach a aufgelöst werden. Durch Äquivalenzumformung erhalte ich für a den Wert -2. Die Funktion der Parabel lautet also: f(x)= -2(x + 1)2 +3

Mit diesem Verfahren kannst du nun jede quadratische Funktion bestimmen, solange du ihren Scheitel kennst und die Koordinaten eines Punktes, der auf der Parabel der Funktion liegt.