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| | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/2.Station|Weiter zur 2. Station]] | | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/2.Station|Weiter zur 2. Station]] |
| − |
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| − | ==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue==
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| − | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | *'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
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| − | *'''Parallelentreue''' liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | :Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
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| − | :auf den Punkt P' abgebildet.
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| − |
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| − | :'''Arbeitsauftrag'''
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| − | :'''Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.'''
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| − | :'''Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.'''
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| − | <br>
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| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | {|
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| − | |<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />||
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| − | <quiz display="simple">
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| − |
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| − | {'''Was zeigen die roten Spuren, die du gezeichnet hast?'''}
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| − | +Geraden
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| − | -Dreiecke
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| − | -Ich sehe keine Spuren.
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| − |
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| − | {'''Ist die zentrische Streckung geradentreu?'''}
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| − | +Ja
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| − | -Nein
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| − |
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| − | </quiz>
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| − | |}
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | :Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit
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| − | :|k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.
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| − |
| |
| − | :'''Arbeitsauftrag:'''
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| − | :'''Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und <span style="text-decoration: overline;">AB</span> = <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> eingezeichnet.'''
| |
| − | :'''Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> '''
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| − | <br>
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| − | <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | {|
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| − | |<ggb_applet height="260" width="550" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Parallelentreue.ggb" />||'''Setze in die Lücken richtig ein:'''
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | Das Viereck ZA'B'P' ist ein '''Parallelogramm'''. <br>
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| − | Mit <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = '''<span style="text-decoration: overline;">A'B'</span>''' und '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''' = <span style="text-decoration: overline;">AB</span>. Daraus folgt durch einsetzen in die Gleichung zur in Schritt 2: <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> = '''|k|''' ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>'''
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| − | |}
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | <div class="multiplechoice-quiz">
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| − | '''Ist die zentrische Streckung parallelentreu?'''
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| − | (Ja) (!Nein)
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/3.Station|Weiter zur 3. Station]]
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung|Zurück zur 1. Station]]
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| − |
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| − | ==3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue==
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| − | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | *'''Winkeltreue''' bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
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| − | *Ebenso gilt für die '''Längentreue''', dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
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| − | *'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | :In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
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| − | :die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.
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| − |
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| − | :'''Arbeitsauftrag:'''
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| − | :'''Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.'''
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| − | <br>
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| − | <ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" />
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| − | <br>
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| − | <div class="multiplechoice-quiz">
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| − | '''Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu?'''
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| − | (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue)
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | :Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?
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| − | :Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
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| − | {|
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| − | |[[Bild:Porzelt_Dreiecke.jpg ]]||
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
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| − | A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br>
| |
| − | A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' ∙ '''|k|''' ∙ '''h''' <br>
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| − | A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
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| − | A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>'''
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| − | </div>
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| − | |}
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| − | <br>
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/4.Station|Weiter zur 4. Station]]
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/2.Station|Zurück zur 2. Station]]
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| − |
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| − | ==4. Station: Längenverhältnistreue==
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| − | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | :'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | {|
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| − | |[[Bild:Porzelt_Verhältnistreu.jpg]]|| '''Arbeitsauftrag:'''
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| − | #Berechne den Streckungsfaktor k.
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| − | #Berechne <math>\overline{A'P'}</math> und <math>\overline{P'B'}</math>.
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| − | #Berechne <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> und <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>. Runde auf 2 Nachkommastellen.
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| − | |}
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| − | <br>
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| − | :Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an:
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| − | <quiz display="simple">
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| − |
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| − | {'''Der Streckungsfaktor k beträgt:'''}
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| − | +2.0
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| − | -1.5
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| − | -3.0
| |
| − |
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| − | {'''<span style="text-decoration: overline;">A'P'</span> beträgt:'''}
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| − | +1.4 cm
| |
| − | -1.5 cm
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| − | -1.3 cm
| |
| − |
| |
| − | {'''<span style="text-decoration: overline;">P'B'</span> beträgt:'''}
| |
| − | +3.0 cm
| |
| − | -2.0 cm
| |
| − | -2.5 cm
| |
| − |
| |
| − | {'''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> beträgt:'''}
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| − | +0.47
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| − | -0.50
| |
| − | -1.00
| |
| − |
| |
| − | {'''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> beträgt:'''}
| |
| − | +0.47
| |
| − | -0.52
| |
| − | -0.45
| |
| − |
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| − | </quiz>
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| − | <br>
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| − |
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| − | :Warum ist <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>?
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | Für <math>\overline{AP}</math> kann man auch '''|k| ∙ <math>\overline{A'P'}</math>''' und für <math>\overline{PB}</math> kann man '''|k| ∙ <math>\overline{P'B'}</math>''' einsetzen. <br>
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| − | Daraus folgt: <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = '''<math>{{|k|}\over{|k|}}</math>''' ∙ '''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>'''.
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| − | |k| kann man rauskürzen, so dass '''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math>''' = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> gilt.
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − |
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| − | <div class="multiplechoice-quiz">
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| − | '''Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu?'''
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| − | (Ja) (!Nein)
| |
| − | </div>
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| − | <br>
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/5.Station|Weiter zur 5. Station]]
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/3.Station|Zurück zur 3. Station]]
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| − |
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| − | ==5. Station: Kreistreue==
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| − | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | :'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | :Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus,
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| − | :ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
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| − | <ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" />
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| − | <br>
| |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | Es gilt: <math>\overline{PM}</math> = r <br>
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| − | Deshalb kann man schreiben: <math>\overline{P'M'}</math> = '''|m|''' ∙ '''<math>\overline{PM}</math>''' = r' <br>
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| − | Der Bildpunkt P' liegt auf dem '''Kreis k'''' um M' mit Radius r' = |m| ∙ '''r'''.
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − |
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| − | <div class="multiplechoice-quiz">
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| − | '''Ist die zentrische Streckung kreistreu?'''
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| − | (Ja) (!Nein)
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/6.Station|Weiter zur 6. Station]]
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/4.Station|Zurück zur 4. Station]]
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| − |
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| − | ==6. Station: Zusammenfassung==
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| − | :Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
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| − | <div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| − | '''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br>
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| − | Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br>
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| − | Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br>
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| − | Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br>
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| − | Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br>
| |
| − | Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br>
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| − | Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br>
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| − | Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu.
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/7.Station|Weiter zur 7. Station]]
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/5.Station|Zurück zur 5. Station]]
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| − |
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| − | ==7. Station: Übung==
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| − | {|
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| − | |[[Bild:Porzelt_Konstruktion_Dreieck.jpg]]||Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren:<br>
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| − | Zeichne ein Koordinatensystem <math>(0 \le x \le 14 ; -3 \le y \le 6)</math> mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft. <br>
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| − | (Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.)<br>
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| − | #Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab.<br>
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| − | #Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'.<br>
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| − | #Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst.
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| − | |}
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| − |
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| − | :Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | [[Bild:Porzelt_Konstruktion.jpg]]}}
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| − | <br>
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| − | [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/6.Station|Zurück zur 6. Station]]
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1 gilt:
