Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

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Ordne den Funktionsgleichungen ihre Graphen zu. Los geht's! 
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Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen.
 
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| f(x)=<math>0,5^{x-3}+2</math>|| [[Bild:Peter Fischer_F1.png|120px]]
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Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit <math>x \frac{km}{s}</math>. Dabei verringert sich die Masse <math>y t</math> (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form <math>y=y_0 \dot 0,37^{\frac{x}{k} (\G=\R_0^+ x \R^+; y_0 e \R^+, k e \R^+)</math> dargestellt werden, wobei <math>y_0</math> die Startmasse der Rakete ist und <math>k \frac{km}{s}</math>
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| f(x)=<math>0,1^{x+5}-3</math> || [[Bild:Peter Fischer_F2.png|120px]]
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die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.
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Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von <math>9,5 \frac{km}{s}</math> erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.(Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)
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| f(x)=<math>3 \cdot 2^x-2</math> ||[[Bild:Peter Fischer_F3.png|120px]]
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Lösung: k = { 5,54 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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<popup name="Tipp"> Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf! </popup>
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| f(x)=<math>1,5^{x+4}-0,5</math> || [[Bild:Peter Fischer_F4.png|120px]]
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Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x \frac{km}{s}.
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Lösung: k = { 3,40 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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<popup name="Lösung"> Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt y=22,0t-10,0t=12,0t <math>12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54}</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54}</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22}</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61</math> <math>x=3,40</math></popup>
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Die Gleichung <math>f_1: y=7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}</math> beschreibt welche Spannung y nach x Sekunden an einem Kondensator anliegt. Die maximale Spannung (Sättigungsspannung) ist 7V. Nach welcher Zeit werden 84% der Sättigungsspannung erreicht? (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.2)
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Lösung: x={ 3,66 _5}s (2 Nachkommastellen)
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Berechnungen zu Exponentialfunktionen.    
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Löse folgende Exponentialgleichungen    
 
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Die Gleichung <math>f_1: y=7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}</math> beschreibt welche Spannung y nach x Sekunden an einem Kondensator anliegt. Die maximale Spannung (Sättigungsspannung) ist 7V. Wie viel Prozent der Sättigungsspannung hat der Kondensator nach 2,60s erreicht? (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.2)
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Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung <math>y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)} beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt. </math> (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6)
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Lösung:{ 72,71 _5}%
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Lösung: x={ 2,20 _5}s
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<popup name="Tipp"> Die Zeit in die Gleichung einsetzen und y ausrechnen. Anschließend in Prozent umrechnen.
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<popup name="Tipp"> Um die Gleichung <math>7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math>lösen zu können brauchst du die Poetenzgesetze!
  
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Karl der Große (742-814) wurde im Jahr 800 römischer Kaiser. Angenommen er hätte in diesem Jahr einen Cent für dich angelegt auf einem Sparbuch. Du bekommst jährlich 2% Zins, der Zinsertrag bleibt auf dem Sparbuch. Wie viel Geld hättest du im Jahr 2010?
 
 
<popup name="Tipp"> Benutze die Zineszinsformel <math>K=K_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n</math> </popup>  
 
<popup name="Tipp"> Benutze die Zineszinsformel <math>K=K_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n</math> </popup>  
 
Lösung: { 255 _5}Mio. €  (Auf ganze Milionen gerundet)
 
Lösung: { 255 _5}Mio. €  (Auf ganze Milionen gerundet)
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'''Weiter gehts zu  [[Logarithmus]]'''
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'''Weiter gehts zu  [[Trigonometrie]]'''
  
 
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[[LERNPFAD]] &#124; [[Exponential- & Logarithmusfunktion]] &#124; [[Logarithmus]]  </div><noinclude>
 
[[LERNPFAD]] &#124; [[Exponential- & Logarithmusfunktion]] &#124; [[Logarithmus]]  </div><noinclude>

Version vom 31. Mai 2010, 10:41 Uhr

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LERNPFAD

Logarithmus

Arbeitsauftrag

Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen:

  • Er ist ein Werkzeug um Gleichungen zu lösen, bei denen x im Exponenten steht
  • Wir können auch die Logarithmusfunktion betrachen, die die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.

Auf den folgenden Folien wirst du an beide Aspekte erinnert.

{{#slideshare:logarithmusfunktion-100529024425-phpapp02}}

Aufgaben

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Exponentialgleichungen, x-Wertberechnungen von Exponentialfunktionen, da dies für deine Prüfung sehr relevant ist.

Aufgabe 1

Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen.

1.

Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit x \frac{km}{s}. Dabei verringert sich die Masse y t (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\G“): y=y_0 \dot 0,37^{\frac{x}{k} (\G=\R_0^+ x \R^+; y_0 e \R^+, k e \R^+) dargestellt werden, wobei y_0 die Startmasse der Rakete ist und k \frac{km}{s}
die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.
Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von 9,5 \frac{km}{s} erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.(Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)
Lösung: k = \frac{km}{s} (2 Nachkommastellen)
Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x \frac{km}{s}.
Lösung: k = \frac{km}{s} (2 Nachkommastellen)
Die Gleichung f_1: y=7-7 \cdot 2,72^{-0,5x} beschreibt welche Spannung y nach x Sekunden an einem Kondensator anliegt. Die maximale Spannung (Sättigungsspannung) ist 7V. Nach welcher Zeit werden 84% der Sättigungsspannung erreicht? (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.2)
Lösung: x=s (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0



Aufgabe 3 Peter Fischer Papier.png

Löse folgende Exponentialgleichungen

1.

Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)} beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt. (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6)
Lösung: x=s
Lösung: Mio. € (Auf ganze Milionen gerundet)

Punkte: 0 / 0


Weiter gehts zu Trigonometrie

Potenzen und Potenzfunktionen
LERNPFAD | Exponential- & Logarithmusfunktion | Logarithmus
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