Skalarprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgaben==
 
==Aufgaben==
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Hier warten nun Aufgaben zu Exponentialfunktionen, diese sind auch sehr häufig in der Abschlussprüfugn zu finden!
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Hier hast du es ebenfalls mit alten Abschlussprüfunen zu tun. Hier sind allerdings Vektoren in Abhängigkeit eines Winkels gegeben. Um Koordinaten oder Winkel zu berechenn solltest du das Skalarprodukt verwenden!
  
 
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 1 '''
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Ordne den Funktionsgleichungen ihre Graphen zu. Los geht's! 
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Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; B2). 
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Die Pfeile <math>\vec{AB_n}={3 \cdot \cos \varphi -2 \choose 3}</math> und <math>\vec{AC_n}={2 \cdot \cos \varphi -3 \choose {\sin}^2 \varphi}</math> mit <math>\quad A(2|1)</math> spannen für <math>\varphi \in [0^\circ; 180^\circ]</math> Dreiecke <math>\quad AB_nC_n</math> auf.
 
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|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']]
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| <math>\quad f(x) = 0,1^{x+5}-3</math> || [[Bild:Peter Fischer_F2.png|120px]]
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| <math>\quad f(x) = 1,5^{x+4}-0,5</math> || [[Bild:Peter Fischer_F4.png|120px]]
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|Für <math>\quad \varphi =30^\circ</math> ergeben sich die Vektoren <math>\quad \vec{AB_1}</math> und <math>\quad \vec{AC_n}</math>, die einen Winkel mit dem Maß <math>\quad \alpha</math> einschließen. Berechnen sie das Maß <math>\quad \alpha</math> auf 2 Stellen gerundet.
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[[Bild:Peter_Fischer_Formelsammlung.png|40px]]
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* <math>\cos \alpha =\frac{\vec{AB_1} \bigodot \vec{AC_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{AC_1}|}</math>
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* <math>\cos \alpha =\frac{{0,60 \choose 3} \bigodot {-1,27 \choose 0,25}}{\sqrt{0,60^2+3^2} \cdot \sqrt{(-1,27)^2+0,25^2}}</math>
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* <math>\cos \alpha =\frac{0,60 \cdot (-1,27)+3 \cdot 0,25}{\sqrt{0,60^2+3^2} \cdot \sqrt{(-1,27)^2+0,25^2}}</math>
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* <math>\alpha=90,17^\circ</math>  
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Lösung: <math>\quad \alpha</math>={ 90,17 _7}° (2 Nachkommastellen)
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|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#FFEC8B;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] '''
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Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst.
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Berechnungen zu Exponentialfunktionen.  
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|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=85x^2-24x+36)</math>FE
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<popup name="Tipp"> Suche einfache, flächengleiche Figuren!</popup>
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|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
 
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| type="{}" }
 
| type="{}" }
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Die Gleichung <math>f_1: y=7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}</math> beschreibt welche Spannung y nach x Sekunden an einem Kondensator anliegt. Die maximale Spannung (Sättigungsspannung) ist 7V. Wie viel Prozent der Sättigungsspannung hat der Kondensator nach 2,60s erreicht? (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.2)
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Lösung: C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8,4 _3}|{ 1,2 _3} (1 Nachkommastelle)
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Lösung:{ 72,71 _5}%
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</quiz>
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<popup name="Tipp"> Die Zeit in die Gleichung einsetzen und y ausrechnen. Anschließend in Prozent umrechnen.
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Karl der Große (742-814) wurde im Jahr 800 römischer Kaiser. Angenommen er hätte in diesem Jahr einen Cent für dich angelegt auf einem Sparbuch. Du bekommst jährlich 2% Zins, der Zinsertrag bleibt auf dem Sparbuch. Wie viel Geld hättest du im Jahr 2010?
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<popup name="Tipp"> Benutze die Zineszinsformel <math>K=K_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^n</math> </popup>  
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Lösung: { 255 _5}Mio. €  (Auf ganze Milionen gerundet)
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|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
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Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
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<quiz display="simple">
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| type="{}" }
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Lösung: C<sub>5</sub>{ 1,2 _3}|{ 3,6 _3} (1 Nachkommastelle)
 
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'''Weiter gehts zu  [[Trigonometrische Funktionen]]'''
 
'''Weiter gehts zu  [[Trigonometrische Funktionen]]'''

Version vom 6. Juni 2010, 12:13 Uhr

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LERNPFAD

Trigonometrie

Arbeitsauftrag

Als erstes schauen wir uns an, welche Bedeutung Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis haben. Anschließend wird der Umgang mit diesen Werkzeugen zur Winkelberechnung erklärt. Klick dich durch!

{{#slideshare:skalarprodukt-100603045003-phpapp01}}

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Aufgaben

Hier hast du es ebenfalls mit alten Abschlussprüfunen zu tun. Hier sind allerdings Vektoren in Abhängigkeit eines Winkels gegeben. Um Koordinaten oder Winkel zu berechenn solltest du das Skalarprodukt verwenden!

Aufgabe 1 Peter Fischer Papier.png

Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; B2).

Die Pfeile \vec{AB_n}={3 \cdot \cos \varphi -2 \choose 3} und \vec{AC_n}={2 \cdot \cos \varphi -3 \choose {\sin}^2 \varphi} mit \quad A(2|1) spannen für \varphi \in [0^\circ; 180^\circ] Dreiecke \quad AB_nC_n auf.

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung
Für \quad \varphi =30^\circ ergeben sich die Vektoren \quad \vec{AB_1} und \quad \vec{AC_n}, die einen Winkel mit dem Maß \quad \alpha einschließen. Berechnen sie das Maß \quad \alpha auf 2 Stellen gerundet.

1.

Lösung: \quad \alpha=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als \quad C_n(3x-6|-x+6). Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn.

Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst.

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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke \quad AB_nC in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: \quad A(x)=85x^2-24x+36)FE

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Die Dreiecke \quad AB_3C_3 und \quad AB_4C_4 haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.

1.

Lösung: C3| und C4| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0

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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt.

1.

Lösung: C5| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0

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Weiter gehts zu Trigonometrische Funktionen
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Potenzen und Potenzfunktionen
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