Skalarprodukt

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Trigonometrie

	Arbeitsauftrag Als erstes schauen wir uns an, welche Bedeutung Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis haben. Anschließend wird der Umgang mit diesen Werkzeugen zur Winkelberechnung erklärt. Klick dich durch!

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Aufgaben

Hier hast du es ebenfalls mit alten Abschlussprüfunen zu tun. Hier sind allerdings Vektoren in Abhängigkeit eines Winkels gegeben. Um Koordinaten oder Winkel zu berechenn solltest du das Skalarprodukt verwenden!

	Aufgabe 1 Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; B2). Die Pfeile $\vec{AB_n}={3 \cdot \cos \varphi -2 \choose 3}$ und $\vec{AC_n}={2 \cdot \cos \varphi -3 \choose {\sin}^2 \varphi}$ mit $\quad A(2|1)$ spannen für $\varphi \in [0^\circ; 180^\circ]$ Dreiecke $\quad AB_nC_n$ auf.

Applet zur anschaulichen Darstellung anzeigen Applet zur anschaulichen Darstellung verstecken

Für $\quad \varphi =30^\circ$ ergeben sich die Vektoren $\quad \vec{AB_1}$ und $\quad \vec{AC_n}$, die einen Winkel mit dem Maß $\quad \alpha$ einschließen. Berechnen sie das Maß $\quad \alpha$ auf 2 Stellen gerundet. Lösung anzeigen Lösung verstecken $\cos \alpha =\frac{\vec{AB_1} \bigodot \vec{AC_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{AC_1}|}$ $\cos \alpha =\frac{{0,60 \choose 3} \bigodot {-1,27 \choose 0,25}}{\sqrt{0,60^2+3^2} \cdot \sqrt{(-1,27)^2+0,25^2}}$ $\cos \alpha =\frac{0,60 \cdot (-1,27)+3 \cdot 0,25}{\sqrt{0,60^2+3^2} \cdot \sqrt{(-1,27)^2+0,25^2}}$ $\alpha=90,17^\circ$ 1. Lösung: $\quad \alpha$=° (2 Nachkommastellen) Punkte: 0 / 0

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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als $\quad C_n(3x-6|-x+6)$. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn. Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst.

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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke $\quad AB_nC$ in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: $\quad A(x)=85x^2-24x+36)$FE Tipp anzeigen Tipp verstecken Suche einfache, flächengleiche Figuren!

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Die Dreiecke $\quad AB_3C_3$ und $\quad AB_4C_4$ haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4. 1. Lösung: C3| und C4| (1 Nachkommastelle) Punkte: 0 / 0

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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt. 1. Lösung: C5| (1 Nachkommastelle) Punkte: 0 / 0

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