Logarithmus

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	Arbeitsauftrag Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen: Er ist ein Werkzeug um Gleichungen zu lösen, bei denen x im Exponenten steht Wir können auch die Logarithmusfunktion betrachen, die die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Auf den folgenden Folien wirst du an beide Aspekte erinnert.

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Logarithmus

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Aufgaben

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Exponentialgleichungen, x-Wertberechnungen von Exponentialfunktionen, da dies für deine Prüfung sehr relevant ist.

	Aufgabe 1 Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen. (Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)

Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit $x \frac{km}{s}$. Dabei verringert sich die Masse $y \quad t$ (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form $y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+)$ dargestellt werden, wobei $y_0 \quad$ die Startmasse der Rakete ist und $k \frac{km}{s}$ die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist. Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von $9,5 \frac{km}{s}$ erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k. 1. Lösung: k = $\frac{km}{s}$ (2 Nachkommastellen) Punkte: 0 / 0 Tipp anzeigen Tipp verstecken Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf!

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Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x $\frac{km}{s}$. 1. Lösung: x = $\frac{km}{s}$ (2 Nachkommastellen) Punkte: 0 / 0 Lösung anzeigen Lösung verstecken Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt: $y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff$ $\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff$ $\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff$ $\frac{x}{5,54}=0,61 \iff$ $\quad x=3,40$

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	Aufgabe 2 Löse folgende Exponentialgleichungen (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6)

Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung $y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}$ beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt. 1. Lösung: x=s Punkte: 0 / 0 Tipp anzeigen Tipp verstecken Um die Gleichung $7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}$lösen zu können brauchst du die Potenzgesetze!

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Löse die Exponentialgleichung $7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}$. Trick anzeigen Trick verstecken Wende auf beiden Seiten der Gleichung einen Logarithmus beliebiger, aber gleicher Basis an und verwende die Logarithmengesetze: $\lg {(7 \cdot 4^{x-2})}=\lg {(25 \cdot 5^{2x+1})}$ 1. Lösung: $\mathbb{L}$= (2 Nachkommastellen) Punkte: 0 / 0

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Exponential- & Logarithmusfunktion

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