Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x <math>\frac{km}{s}</math>.
 
Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x <math>\frac{km}{s}</math>.
 
Lösung: x = { 3,40 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
 
Lösung: x = { 3,40 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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<popup name="Lösung"> Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt y=22,0t-10,0t=12,0t <math>12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54}</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54}</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22}</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61</math> <math>x=3,40</math></popup>  
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<popup name="Lösung"> Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt <math>y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61 \iff</math> <math>\quad x=3,40</math></popup>  
  
 
</quiz>
 
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Löse die Exponentialgleichung <math>7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}</math>.
 
Löse die Exponentialgleichung <math>7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}</math>.
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<popup name="Trick"> Wende auf beiden Seiten der Gleichung einen Logarithmus beliebiger, aber gleicher Basis an und verwenden die Logarithmengesetze: <math>\lg {(7 \cdot 4^{x-2})}=\lg {(25 \cdot 5^{2x+1}} (</math></popup>  
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<popup name="Trick"> Wende auf beiden Seiten der Gleichung einen Logarithmus beliebiger, aber gleicher Basis an und verwenden die Logarithmengesetze: <math>\lg {(7 \cdot 4^{x-2})}=\lg {(25 \cdot 5^{2x+1})} </math></popup>  
  
 
Lösung: L={ 0,10 _5} (2 Nachkommastellen)
 
Lösung: L={ 0,10 _5} (2 Nachkommastellen)

Version vom 1. Juni 2010, 08:18 Uhr

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LERNPFAD

Logarithmus

Arbeitsauftrag

Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen:

  • Er ist ein Werkzeug um Gleichungen zu lösen, bei denen x im Exponenten steht
  • Wir können auch die Logarithmusfunktion betrachen, die die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.

Auf den folgenden Folien wirst du an beide Aspekte erinnert.

{{#slideshare:logarithmusfunktion-100529024425-phpapp02}}

Aufgaben

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Exponentialgleichungen, x-Wertberechnungen von Exponentialfunktionen, da dies für deine Prüfung sehr relevant ist.

Aufgabe 1

Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen.

1.

Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit x \frac{km}{s}. Dabei verringert sich die Masse y t (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+) dargestellt werden, wobei y_0 die Startmasse der Rakete ist und k \frac{km}{s}
die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.
Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von 9,5 \frac{km}{s} erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.(Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)
Lösung: k = \frac{km}{s} (2 Nachkommastellen)
Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x \frac{km}{s}.
Lösung: x = \frac{km}{s} (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0



Aufgabe 2 Peter Fischer Papier.png

Löse folgende Exponentialgleichungen

1.

Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)} beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt. (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6)
Lösung: x=s
Löse die Exponentialgleichung 7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}.
Lösung: L= (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0


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Potenzen und Potenzfunktionen
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