Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

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Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen.
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Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen. (Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)
 
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|Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit <math>x \frac{km}{s}</math>. Dabei verringert sich die Masse <math>y t</math> (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form <math>y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+)</math> dargestellt werden, wobei <math>y_0</math> die Startmasse der Rakete ist und <math>k \frac{km}{s}</math>
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die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.
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Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von <math>9,5 \frac{km}{s}</math> erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.
 
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Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit <math>x \frac{km}{s}</math>. Dabei verringert sich die Masse <math>y t</math> (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form <math>y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+)</math> dargestellt werden, wobei <math>y_0</math> die Startmasse der Rakete ist und <math>k \frac{km}{s}</math>
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'''Lösung:''' k = { 5,54 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.
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Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von <math>9,5 \frac{km}{s}</math> erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.(Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)
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Lösung: k = { 5,54 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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<popup name="Tipp"> Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf! </popup>
 
<popup name="Tipp"> Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf! </popup>
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Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x <math>\frac{km}{s}</math>.
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Lösung: x = { 3,40 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
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<popup name="Lösung"> Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt <math>y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61 \iff</math> <math>\quad x=3,40</math></popup>  
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|Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x <math>\frac{km}{s}</math>.
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'''Lösung:''' x = { 3,40 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen)
 
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Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen.
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!Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt <math>y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61 \iff</math> <math>\quad x=3,40</math>
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Version vom 12. Juni 2010, 16:16 Uhr

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Logarithmus

Arbeitsauftrag

Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen:

  • Er ist ein Werkzeug um Gleichungen zu lösen, bei denen x im Exponenten steht
  • Wir können auch die Logarithmusfunktion betrachen, die die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.

Auf den folgenden Folien wirst du an beide Aspekte erinnert.

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Aufgaben

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Exponentialgleichungen, x-Wertberechnungen von Exponentialfunktionen, da dies für deine Prüfung sehr relevant ist.

Aufgabe 1

Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen. (Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1)

Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von 9,5 \frac{km}{s} erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.

1.

Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit x \frac{km}{s}. Dabei verringert sich die Masse y t (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+) dargestellt werden, wobei y_0 die Startmasse der Rakete ist und k \frac{km}{s}

die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist.

Lösung: k = \frac{km}{s} (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0