Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen
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|Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit <math>x \frac{km}{s}</math>. Dabei verringert sich die Masse <math>y t</math> (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form <math>y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+)</math> dargestellt werden, wobei <math>y_0</math> die Startmasse der Rakete ist und <math>k \frac{km}{s}</math> | |Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit <math>x \frac{km}{s}</math>. Dabei verringert sich die Masse <math>y t</math> (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form <math>y=y_0 \cdot 0,37^{\frac{x}{k}} (\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}^+; y_0 \in \mathbb{R}^+, k \in \mathbb{R}^+)</math> dargestellt werden, wobei <math>y_0</math> die Startmasse der Rakete ist und <math>k \frac{km}{s}</math> | ||
die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist. | die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist. | ||
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Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von <math>9,5 \frac{km}{s}</math> erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k. | Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von <math>9,5 \frac{km}{s}</math> erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k. | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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'''Lösung:''' k = { 5,54 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen) | '''Lösung:''' k = { 5,54 _5}<math>\frac{km}{s}</math> (2 Nachkommastellen) | ||
</quiz> | </quiz> | ||
| − | <popup name="Tipp"> Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf! </popup> | + | {| |
| + | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
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| + | Setze alle bekannten Werte in die gegebene Gleichung ein und löse sie nach der gesuchten Größe auf! | ||
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|<popup name="Lösung"> | |<popup name="Lösung"> | ||
Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. | Hier ist y einzusetzen und x zu bestimmen. | ||
| − | !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt <math>y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61 \iff</math> <math>\quad x=3,40</math> | + | !Achtung y ist die verbleibende Masse! Deshalb gilt: <math>y=22,0t-10,0t=12,0t \Rightarrow 12,0=22,0 \cdot 0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{12,0}{22,0}=0,37^\frac{x}{5,54} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=\log_0,37 \frac{12}{22} \iff</math> <math>\frac{x}{5,54}=0,61 \iff</math> <math>\quad x=3,40</math> |
</popup> | </popup> | ||
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| width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#C0FF3E;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] ''' | | width="1000" style="text-align:left" style="background-color:#C0FF3E;"| '''Aufgabe 2 [[Bild:Peter_Fischer_Papier.png|40px]] ''' | ||
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| − | Löse folgende Exponentialgleichungen | + | Löse folgende Exponentialgleichungen (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6) |
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| + | |Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung <math>y=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math> beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt. | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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| type="{}" } | | type="{}" } | ||
| − | + | '''Lösung:''' x={ 2,20 _5}s | |
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| − | <popup name="Tipp"> Um die Gleichung <math>7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math>lösen zu können brauchst du die | + | {| |
| + | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
| + | |<popup name="Tipp"> | ||
| + | Um die Gleichung <math>7-7 \cdot 2,72^{-0,5x}=8,5 \cdot 2,72^{-0,5(x-1)}</math>lösen zu können brauchst du die Potenzgesetze! | ||
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| − | Löse die Exponentialgleichung <math>7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}</math>. | + | {| border="1" |
| − | <popup name="Trick"> Wende auf beiden Seiten der Gleichung einen Logarithmus beliebiger, aber gleicher Basis an und verwenden die Logarithmengesetze: <math>\lg {(7 \cdot 4^{x-2})}=\lg {(25 \cdot 5^{2x+1})} </math></popup> | + | |Löse die Exponentialgleichung <math>7 \cdot 4^{x-2} = 25 \cdot 5^{2x+1}</math>. |
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| + | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
| + | |<popup name="Trick"> Wende auf beiden Seiten der Gleichung einen Logarithmus beliebiger, aber gleicher Basis an und verwenden die Logarithmengesetze: <math>\lg {(7 \cdot 4^{x-2})}=\lg {(25 \cdot 5^{2x+1})} </math> | ||
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| + | <quiz display="simple"> | ||
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Lösung: L={ 0,10 _5} (2 Nachkommastellen) | Lösung: L={ 0,10 _5} (2 Nachkommastellen) | ||
</quiz> | </quiz> | ||
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Version vom 12. Juni 2010, 16:27 Uhr
Logarithmus
| Arbeitsauftrag
Der Logarithmus hat für uns zwei Bedeutungen:
Auf den folgenden Folien wirst du an beide Aspekte erinnert. |
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Aufgaben
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Exponentialgleichungen, x-Wertberechnungen von Exponentialfunktionen, da dies für deine Prüfung sehr relevant ist.
| Aufgabe 1
Berechne Parameter und x-Werte zu Exponentialfunktionen. (Abschlussprüfung 2007; Aufgabengruppe B; 1.1) |
Während der Beschleunigungsphase einer Rakete hat diese die Geschwindigkeit  . Dabei verringert sich die Masse  (Tonne) der Rakete durch den Ausstoß von verbranntem Treibstoff. Die Veränderung der Raketenmasse in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit kann durch eine Gleichung der Form  dargestellt werden, wobei  die Startmasse der Rakete ist und 
die Ausströmgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffes ist. Eine Rakete hat eine Startmasse von 22,0 t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von
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erreicht, hat sich die Masse auf 4 t verringert. Berechnen sie k.
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Die Rakete mit 22,0 t Startmasse hat seit dem Start 10,0 t Treibstoff verbrannt. Berechnen sie die dabei erreichte Geschwindigkeit x  .
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Aufgabe 2 
Löse folgende Exponentialgleichungen (Abschlussprüfung 2004; Aufgabengruppe A; 1.6) |
Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des Kondensators, wird ein zweiter Kondensator entladen. Dieser Vorgang wird mit der Gleichung  beschrieben. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators. Berechnen Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt.
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lösen zu können brauchst du die Potenzgesetze!
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Löse die Exponentialgleichung  .
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Weiter gehts zu Abschnitt III Trigonometrie
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Exponential- & Logarithmusfunktion
