Berechnungen in Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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**[[Exkurs: Figuren und ihre Eigenschaften]] | **[[Exkurs: Figuren und ihre Eigenschaften]] | ||
*[[Abbildungen im Koordinatensystem]] | *[[Abbildungen im Koordinatensystem]] | ||
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|[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']] | |[[Bild:Peter_Fischer_Applet.png|35px|''Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung'']] | ||
− | |<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="600" width=" | + | |<popup name="Applet zur anschaulichen Darstellung"> <ggb_applet height="600" width="900" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Peter Fischer_Gleichschenklig-Rechtwinklig.ggb"/> |
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|Berechne den Winkel <math>\quad ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>. | |Berechne den Winkel <math>\quad ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>. | ||
− | <popup name="Lösungshinweis"> *D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln *<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM<sub>2</sub>A mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.</popup> | + | {| |
+ | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
+ | |<popup name="Lösungshinweis"> | ||
+ | *D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln | ||
+ | *<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln | ||
+ | *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden | ||
+ | *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM<sub>2</sub>A mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird. | ||
+ | </popup> | ||
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<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 71,57 _7}° (2 Nachkommastellen) | + | '''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 71,57 _7}° (2 Nachkommastellen) |
</quiz> | </quiz> | ||
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|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=85x^2-24x+36)</math>FE | |Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=85x^2-24x+36)</math>FE | ||
− | <popup name="Tipp"> Suche einfache, flächengleiche Figuren!</popup> | + | {| |
+ | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
+ | |<popup name="Tipp"> | ||
+ | Suche einfache, flächengleiche Figuren! | ||
+ | </popup> | ||
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| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | Lösung: C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8,4 _3}|{ 1,2 _3} (1 Nachkommastelle) | + | '''Lösung:''' C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8,4 _3}|{ 1,2 _3} (1 Nachkommastelle) |
</quiz> | </quiz> | ||
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| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | Lösung: C<sub>5</sub>{ 1,2 _3}|{ 3,6 _3} (1 Nachkommastelle) | + | '''Lösung:''' C<sub>5</sub>{ 1,2 _3}|{ 3,6 _3} (1 Nachkommastelle) |
</quiz> | </quiz> | ||
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|Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>. | |Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>. | ||
− | <popup name="Tipp 1"> Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt. | + | {| |
− | <popup name="Tipp 2"> Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup> | + | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] |
+ | |<popup name="Tipp 1"> | ||
+ | Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt. | ||
+ | </popup> | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
+ | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
+ | |<popup name="Tipp 2"> | ||
+ | Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup> | ||
+ | |} | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ | { | ||
| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 125,26 _7}° (2 Nachkommastellen) | + | '''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 125,26 _7}° (2 Nachkommastellen) |
</quiz> | </quiz> | ||
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<math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>. | <math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>. | ||
[Teilergebnis: <math>\quad \overline{AS}=10,11cm</math>] | [Teilergebnis: <math>\quad \overline{AS}=10,11cm</math>] | ||
− | <popup name="Tipp"> Sinussatz im Dreieck <math>QR_nS</math></popup> | + | {| |
+ | |[[Bild:Peter_Fischer_Tipp.png|35px|''Mori hat einen Tipp für dich'']] | ||
+ | |<popup name="Tipp"> | ||
+ | Sinussatz im Dreieck <math>\quad QR_nS</math> | ||
+ | </popup> | ||
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| type="{}" } | | type="{}" } | ||
− | Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 100,03 _7}° (2 Nachkommastellen) | + | '''Lösung:''' <math>\quad \epsilon</math>={ 100,03 _7}° (2 Nachkommastellen) |
</quiz> | </quiz> | ||
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Version vom 12. Juni 2010, 16:51 Uhr
Trigonometrie
Arbeitsauftrag
Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an
Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen! |
{{#slideshare:dreiecke-100609154147-phpapp01}}
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Aufgaben
Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.
Berechne den Winkel , wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten .
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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als . Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn.
Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst. |
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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: FE
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Die Dreiecke und haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.
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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt. |
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Berechnen sie das größmögliche Maß .
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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge in Abhängigkeit von gilt:
. [Teilergebnis: ] |
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Berechnen Sie das Winkelmaß so, dass die Strecke und gleich land sind.
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