Berechnungen in Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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==Aufgaben== | ==Aufgaben== | ||
− | + | Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken. | |
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Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; A2 (verändert)). | Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; A2 (verändert)). | ||
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+ | Die gleichschenkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichugn <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>. | ||
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− | + | |Berechne den Winkel <math>\quad ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>. | |
<popup name="Lösungshinweis"> *D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln *<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM<sub>2</sub>A mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.</popup> | <popup name="Lösungshinweis"> *D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln *<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM<sub>2</sub>A mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.</popup> | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 71,57 _7}° (2 Nachkommastellen) | Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 71,57 _7}° (2 Nachkommastellen) | ||
</quiz> | </quiz> | ||
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+ | |Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>. | ||
Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst. | Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst. | ||
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<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | <span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | ||
− | + | {| border="1" | |
− | <popup name="Tipp"> Suche | + | |Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=85x^2-24x+36)</math>FE |
+ | <popup name="Tipp"> Suche einfache, flächengleiche Figuren!</popup> | ||
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+ | |Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>. | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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| type="{}" } | | type="{}" } | ||
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Lösung: C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8,4 _3}|{ 1,2 _3} (1 Nachkommastelle) | Lösung: C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8,4 _3}|{ 1,2 _3} (1 Nachkommastelle) | ||
+ | </quiz> | ||
+ | |} | ||
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | <span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | ||
− | + | {| border="1" | |
+ | |Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt. | ||
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt. | Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt. | ||
+ | <quiz display="simple"> | ||
+ | { | ||
+ | | type="{}" } | ||
Lösung: C<sub>5</sub>{ 1,2 _3}|{ 3,6 _3} (1 Nachkommastelle) | Lösung: C<sub>5</sub>{ 1,2 _3}|{ 3,6 _3} (1 Nachkommastelle) | ||
</quiz> | </quiz> | ||
+ | |} | ||
<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | <span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | ||
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Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2). | Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2). | ||
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Das Quadrat ABCD mit <math>\overline{AB}=6cm</math> ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß <math>\gamma = 50^\circ</math>. | Das Quadrat ABCD mit <math>\overline{AB}=6cm</math> ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß <math>\gamma = 50^\circ</math>. | ||
Der Punkt liegt auf der Kante <math>\quad[AS]</math> mit <math>\overline{AQ}=6cm</math>. Die Punkte <math>\quad R_n</math> liegenauf der Kante <math>\quad [CS]</math>, wobei die Winkel <math>\quad R_nQS</math> das Maß <math> \quad \epsilon</math> mit <math>\quad \epsilon > 0^\circ</math> haben. | Der Punkt liegt auf der Kante <math>\quad[AS]</math> mit <math>\overline{AQ}=6cm</math>. Die Punkte <math>\quad R_n</math> liegenauf der Kante <math>\quad [CS]</math>, wobei die Winkel <math>\quad R_nQS</math> das Maß <math> \quad \epsilon</math> mit <math>\quad \epsilon > 0^\circ</math> haben. | ||
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+ | |Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>. | ||
+ | <popup name="Tipp 1"> Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt. | ||
+ | <popup name="Tipp 2"> Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup> | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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| type="{}" } | | type="{}" } | ||
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Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 125,26 _7}° (2 Nachkommastellen) | Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 125,26 _7}° (2 Nachkommastellen) | ||
+ | </quiz> | ||
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<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | <span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | ||
− | + | {| border="1" | |
+ | |Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge <math>\quad \overline{QR_n}</math> in Abhängigkeit von <math>\quad \epsilon</math> gilt: | ||
<math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>. | <math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>. | ||
[Teilergebnis: <math>\quad \overline{AS}=10,11cm</math>] | [Teilergebnis: <math>\quad \overline{AS}=10,11cm</math>] | ||
<popup name="Tipp"> Sinussatz im Dreieck <math>QR_nS</math></popup> | <popup name="Tipp"> Sinussatz im Dreieck <math>QR_nS</math></popup> | ||
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<span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | <span style="color:#FFFFFF"><big>Leerzeile</big></span> | ||
− | + | {| border="1" | |
+ | |Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich land sind. | ||
+ | <quiz display="simple"> | ||
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+ | | type="{}" } | ||
Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 100,03 _7}° (2 Nachkommastellen) | Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 100,03 _7}° (2 Nachkommastellen) | ||
</quiz> | </quiz> | ||
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Version vom 6. Juni 2010, 10:52 Uhr
Trigonometrie
Arbeitsauftrag
Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an
Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen! |
{{#slideshare:dreiecke-100603045008-phpapp02}}
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Aufgaben
Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.
Berechne den Winkel , wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten .
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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als . Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn.
Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst. |
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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: FE |
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Die Dreiecke und haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.
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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt. |
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Berechnen sie das größmögliche Maß .
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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge in Abhängigkeit von gilt:
. [Teilergebnis: ] |
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Berechnen Sie das Winkelmaß so, dass die Strecke und gleich land sind.
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Weiter gehts zu Trigonometrische Funktionen
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