Berechnungen in Dreiecken

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Trigonometrie

Arbeitsauftrag

Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an

rechtwinkligen Dreiecken
und allgemeinen Dreiecken.

Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen!

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Berechnungen in Dreiecken
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Aufgaben

Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.

Aufgabe 1

Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert)).

Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke $AB_nC_n \quad$ bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt $\quad A(0|0)$ . Auf der Geraden g mit der Gleichung $\quad y=-2x+6$ liegen die Mittelpunkte $\quad M_n(x|-2x+6)$ der Hyptenusen $\quad[AB_n]$ .

Applet zur anschaulichen Darstellung anzeigen

Berechne den Winkel $\quad \angle ADM_2$ , wobei D der Schnittpunkt von g und AC₂ ist. Der Punkt C₂ besitzt die Koordinaten $\quad C_2(3|3)$ .

Lösungshinweis anzeigen

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Die Punkte C_n können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M_n dargestellt werden als $\quad C_n(3x-6|-x+6)$ . Ermittle die Gleichung des

Trägergraphen h der Punkte C_n. Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst, die Punkte C_n zeichnen den Trägergraphen.

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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke $\quad AB_nC$ in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M_n gilt: $\quad A(x)=(85x^2-24x+36)$ FE

Tipp anzeigen

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Die Dreiecke $\quad AB_3C_3$ und $\quad AB_4C_4$ haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C₃ und C₄.

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Unter den Dreiecken AB_nC_n gibt es das Dreieck AB₅C₅, bei dem der Punkt C₅ auf der Geraden g liegt.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C₅ und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB₅C₅ den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB_nC_n besitzt.

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Aufgabe 2

Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).

Das Quadrat ABCD mit $\overline{AB}=6cm$ ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß $\gamma = 50^\circ$ . Der Punkt liegt auf der Kante $\quad[AS]$ mit $\overline{AQ}=6cm$ . Die Punkte $\quad R_n$ liegenauf der Kante $\quad [CS]$ , wobei die Winkel $\quad R_nQS$ das Maß $\quad \epsilon$ mit $\quad \epsilon > 0^\circ$ haben.