Berechnungen in Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgaben==
 
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Hier warten nun Aufgaben zu Exponentialfunktionen, diese sind auch sehr häufig in der Abschlussprüfugn zu finden!
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Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.
  
 
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Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; A2 (verändert)).   
 
Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; A2 (verändert)).   
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Die gleichschenkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichugn <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>.
 
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Die gleichschenkligen Dreiecke <math>AB_nC_n \quad</math> bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt <math>\quad A(0|0)</math>. Auf der Geraden g mit der Gleichugn <math>\quad y=-2x+6</math> liegen die Mittelpunkte <math>\quad M_n(x|-2x+6)</math> der Hyptenusen <math>\quad[AB_n]</math>.
 
  
 
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*Berechne den Winkel <math>\quad ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>.
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|Berechne den Winkel <math>\quad ADM_2</math>, wobei D der Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ist. Der Punkt C<sub>2</sub> besitzt die Koordinaten <math>\quad C_2(3|3)</math>.
 
<popup name="Lösungshinweis"> *D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln  *<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln  *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden  *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM<sub>2</sub>A mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.</popup>
 
<popup name="Lösungshinweis"> *D als Schnittpunkt von g und AC<sub>2</sub> ermitteln  *<math>\quad \overline {AD}</math> und <math>\quad \overline {DM_2}</math> mit der Formel für Streckenlänge ermitteln  *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden  *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM<sub>2</sub>A mit <math>\quad \tan \alpha =m_g</math> berechnet wird.</popup>
 
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Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 71,57 _7}° (2 Nachkommastellen)  
 
Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 71,57 _7}° (2 Nachkommastellen)  
 
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*Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
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|Die Punkte C<sub>n</sub> können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte M<sub>n</sub> dargestellt werden als <math>\quad C_n(3x-6|-x+6)</math>. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte C<sub>n</sub>.
 
Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst.
 
Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst.
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*Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=85x^2-24x+36)</math>FE
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<popup name="Tipp"> Suche einfach, flächengleiche Figuren!</popup>
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|Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke <math>\quad AB_nC</math> in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M<sub>n</sub> gilt: <math>\quad A(x)=85x^2-24x+36)</math>FE
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<popup name="Tipp"> Suche einfache, flächengleiche Figuren!</popup>
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|Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
 
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*Die Dreiecke <math>\quad AB_3C_3</math> und <math>\quad AB_4C_4</math> haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C<sub>3</sub> und C<sub>4</sub>.
 
 
Lösung: C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8,4 _3}|{ 1,2 _3} (1 Nachkommastelle)
 
Lösung: C<sub>3</sub>{ -6 _3}|{ 6 _3} und C<sub>4</sub>{ 8,4 _3}|{ 1,2 _3} (1 Nachkommastelle)
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*Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
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|Unter den Dreiecken AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> gibt es das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub>, bei dem der Punkt C<sub>5</sub> auf der Geraden g liegt.
 
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
 
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C<sub>5</sub> und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB<sub>5</sub>C<sub>5</sub> den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke AB<sub>n</sub>C<sub>n</sub> besitzt.
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Lösung: C<sub>5</sub>{ 1,2 _3}|{ 3,6 _3} (1 Nachkommastelle)
 
Lösung: C<sub>5</sub>{ 1,2 _3}|{ 3,6 _3} (1 Nachkommastelle)
 
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Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).   
 
Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).   
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Das Quadrat ABCD mit <math>\overline{AB}=6cm</math> ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß <math>\gamma = 50^\circ</math>.
 
Das Quadrat ABCD mit <math>\overline{AB}=6cm</math> ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß <math>\gamma = 50^\circ</math>.
 
Der Punkt liegt auf der Kante <math>\quad[AS]</math> mit <math>\overline{AQ}=6cm</math>. Die Punkte <math>\quad R_n</math> liegenauf der Kante <math>\quad [CS]</math>, wobei die Winkel <math>\quad R_nQS</math> das Maß <math> \quad \epsilon</math> mit <math>\quad \epsilon > 0^\circ</math> haben.
 
Der Punkt liegt auf der Kante <math>\quad[AS]</math> mit <math>\overline{AQ}=6cm</math>. Die Punkte <math>\quad R_n</math> liegenauf der Kante <math>\quad [CS]</math>, wobei die Winkel <math>\quad R_nQS</math> das Maß <math> \quad \epsilon</math> mit <math>\quad \epsilon > 0^\circ</math> haben.
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|Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>.
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<popup name="Tipp 1"> Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt.
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<popup name="Tipp 2">  Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup>
 
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*Berechnen sie das größmögliche Maß <math>\epsilon</math>.
 
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<popup name="Tipp 1"> Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn <math>\quad R_n</math> auf C liegt.
 
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<popup name="Tipp 2">  Mit Hilfe von Dreiecken kannst du <math>\quad \epsilon</math> ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)</popup>
 
 
Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 125,26 _7}° (2 Nachkommastellen)  
 
Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 125,26 _7}° (2 Nachkommastellen)  
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*Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge <math>\quad \overline{QR_n}</math> in Abhängigkeit von <math>\quad \epsilon</math> gilt:
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|Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge <math>\quad \overline{QR_n}</math> in Abhängigkeit von <math>\quad \epsilon</math> gilt:
 
<math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>.
 
<math>\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm</math>.
 
[Teilergebnis: <math>\quad \overline{AS}=10,11cm</math>]
 
[Teilergebnis: <math>\quad \overline{AS}=10,11cm</math>]
 
<popup name="Tipp"> Sinussatz im Dreieck <math>QR_nS</math></popup>
 
<popup name="Tipp"> Sinussatz im Dreieck <math>QR_nS</math></popup>
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*Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich land sind.
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|Berechnen Sie das Winkelmaß <math>\quad \epsilon</math> so, dass die Strecke <math>\quad [QR_1]</math> und <math>\quad [QS] </math> gleich land sind.
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<quiz display="simple">
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Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 100,03 _7}° (2 Nachkommastellen)
 
Lösung: <math>\quad \epsilon</math>={ 100,03 _7}° (2 Nachkommastellen)
 
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Version vom 6. Juni 2010, 10:52 Uhr

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Lernpfad-Navigator

LERNPFAD

Trigonometrie

Arbeitsauftrag

Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an

  • rechtwinkligen Dreiecken
  • und allgemeinen Dreiecken.

Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen!

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Aufgaben

Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.

Aufgabe 1 Peter Fischer Papier.png

Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; A2 (verändert)).

Die gleichschenkligen Dreiecke AB_nC_n \quad bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt \quad A(0|0). Auf der Geraden g mit der Gleichugn \quad y=-2x+6 liegen die Mittelpunkte \quad M_n(x|-2x+6) der Hyptenusen \quad[AB_n].

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung
Berechne den Winkel \quad ADM_2, wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten \quad C_2(3|3).

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als \quad C_n(3x-6|-x+6). Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn.

Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst.

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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke \quad AB_nC in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: \quad A(x)=85x^2-24x+36)FE

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Die Dreiecke \quad AB_3C_3 und \quad AB_4C_4 haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4.

1.

Lösung: C3| und C4| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0

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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt.

1.

Lösung: C5| (1 Nachkommastelle)

Punkte: 0 / 0

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Aufgabe 2 Peter Fischer Papier.png

Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).

Das Quadrat ABCD mit \overline{AB}=6cm ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß \gamma = 50^\circ. Der Punkt liegt auf der Kante \quad[AS] mit \overline{AQ}=6cm. Die Punkte \quad R_n liegenauf der Kante \quad [CS], wobei die Winkel \quad R_nQS das Maß \quad \epsilon mit \quad \epsilon > 0^\circ haben.

Hier ist ein Applet zur anschaulichen Darstellung


Berechnen sie das größmögliche Maß \epsilon.

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge \quad \overline{QR_n} in Abhängigkeit von \quad \epsilon gilt:

\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm. [Teilergebnis: \quad \overline{AS}=10,11cm]

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Berechnen Sie das Winkelmaß \quad \epsilon so, dass die Strecke \quad [QR_1] und \quad [QS] gleich land sind.

1.

Lösung: \quad \epsilon=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0


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