Berechnungen in Dreiecken

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Trigonometrie

	Arbeitsauftrag Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an rechtwinkligen Dreiecken und allgemeinen Dreiecken. Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen!

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Aufgaben

Hier warten nun Aufgaben zu Exponentialfunktionen, diese sind auch sehr häufig in der Abschlussprüfugn zu finden!

	Aufgabe 1 Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; A2 (verändert)).

Die gleichschenkligen Dreiecke $AB_nC_n \quad$ bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt $\quad A(0|0)$. Auf der Geraden g mit der Gleichugn $\quad y=-2x+6$ liegen die Mittelpunkte $M_n(x|-2x+6)$ der Hyptenusen $\quad[AB_n]$.

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1.

*Berechne den Winkel $\quad ADM_2$, wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten $\quad C_2(3|3)$.

Lösungshinweis anzeigen Lösungshinweis verstecken *D als Schnittpunkt von g und AC2 ermitteln *$\quad \overline {AD}$ und $\quad \overline {DM_2}$ mit der Formel für Streckenlänge ermitteln *Kosinussatz im Dreieck AM_2D anwenden *Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel DM2A mit $\quad \tan \alpha =m_g$ berechnet wird.

Lösung: $\quad \epsilon$=° (2 Nachkommastellen)

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*Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als $\quad C_n(3x-6|-x+6)$. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn.

Das Ergebnis kannst du im Applet erkennen, wenn du auf "Trägergraph h einblenden" klickst.

Punkte: 0 / 0

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• Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke $\quad AB_nC$ in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte M_n gilt:

FE

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• Die Dreiecke $\quad AB_3C_3$ und $\quad AB_4C_4$ haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C₃ und C₄.

Lösung: C₃( -6 _3)|( 6 _3) und C₄( 8,4 _3)|( 1,2 _3) </quiz>

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	Aufgabe 2 Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2).

Das Quadrat ABCD mit $\overline{AB}=6cm$ ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß $\gamma = 50^\circ$. Der Punkt liegt auf der Kante $\quad[AS]$ mit $\overline{AQ}=6cm$. Die Punkte $\quad R_n$ liegenauf der Kante $\quad [CS]$, wobei die Winkel $\quad R_nQS$ das Maß $\quad \epsilon$ mit $\quad \epsilon > 0^\circ$ haben.

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1.

*Berechnen sie das größmögliche Maß $\epsilon$.

Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn $\quad R_n$ auf C liegt.

Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Mit Hilfe von Dreiecken kannst du $\quad \epsilon$ ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.)

Lösung: $\quad \epsilon$=° (2 Nachkommastellen)

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*Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge $\quad \overline{QR_n}$ in Abhängigkeit von $\quad \epsilon$ gilt:

$\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm$.

[Teilergebnis: $\quad \overline{AS}=10,11cm$]

Tipp anzeigen Tipp verstecken Sinussatz im Dreieck $QR_nS$

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*Berechnen Sie das Winkelmaß $\quad \epsilon$ so, dass die Strecke $\quad [QR_1]$ und $\quad [QS]$ gleich land sind.

Lösung: $\quad \epsilon$=° (2 Nachkommastellen)

Punkte: 0 / 0

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